acwing算法提高之动态规划--数字三角形模型

1 基础知识

暂无。。。

2 模板

暂无。。。

3 工程化

题目1：摘花生。

解题思路：DP。

状态定义f[i][j]：从(1,1)走到(i,j)所摘花生总和。
状态转移，有：

1. 从上方走到(i,j)，有f[i-1][j] + w[i][j]。
2. 从左侧走到(i,j)，有f[i][j-1] + w[i][j]。

C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 110;
int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                cin >> w[i][j];
            }
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]) + w[i][j];
            }
        }
        
        cout << f[n][m] << endl;
    }
    
    return 0;
}

题目2：最低通行费用。N*N的网格，求最低通行费用。

解题思路：DP。

C++代码如下，

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    
    f[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (i == 1 & j == 1) continue; //已经被初始化了，无需计算
            f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i][j-1]) + a[i][j];
        }
    }
    
    cout << f[n][n] << endl;
    
    return 0;
}

题目3：方格取数。给定N*N的方格，每个方格中有一个数，从左上角走到右下角，有两个人A和B，方格中的数只能被取一次，求最大值。

解题思路：DP。

状态定义f[k][i1][i2]：横坐标和纵坐标之和为k，且A走到(i1,k-i1)处，B走到(i2,k-i2)处，该情况下路径之和的最大值。

f[k][i1][i2]的状态转移，即是求下面4种情况的最大值，

1. A从上方走到(i1,k-i1)，B从上方走到(i2,k-i2)，即f[k-1][i1-1][i2-1] + t。
2. A从上方走到(i1,k-i1)，B从左侧走到(i2,k-i2)，即f[k-1][i1-1][i2] + t。
3. A从左侧走到(i1,k-i1)，B从上方走到(i2,k-i2)，即f[k-1][i1][i2-1] + t。
4. A从左侧走到(i1,k-i1)，B从左侧走到(i2,k-i2)，即f[k-1][i1][i2] + t。

其中如果i1不等于i2，那么t等于a[i1][k-i1] + a[i2][k-i2]；如果i1等于i2，那么t等于a[i1][k-i1]。

C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 15;
int n;
int a[N][N];
int f[2 * N][N][N];

int main() {
    cin >> n;
    int i, j, w;
    while (cin >> i >> j >> w, i || j || w) {
        a[i][j] = w;        
    }
    
    for (int k = 2; k <= 2 * n; ++k) {
        for (int i1 = 1; i1 <= k; ++i1) {//i1循环到k
            for (int i2 = 1; i2 <= k; ++i2) {//i2也循环到k
                int t = a[i1][k-i1];
                if (i1 != i2) t += a[i2][k-i2];
                int val1 = max(f[k-1][i1][i2], f[k-1][i1-1][i2-1]);
                int val2 = max(f[k-1][i1][i2-1], f[k-1][i1-1][i2]);
                f[k][i1][i2] = max(val1, val2) + t;
            }
        }
    }
    
    cout << f[2 * n][n][n] << endl;
       
    return 0;
}