acwing算法提高之动态规划--最长上升子序列模型（上）

1 基础知识

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2 模板

暂无。。。

3 工程化

题目1：怪盗基德的滑翔翼。有N个数，表示房屋的高度，你可以任意选择一个房屋作为起点，选择朝左飞，或者朝右飞，必须严格递减才能够飞到下一个房屋，求经过的最大房屋数。

解题思路：DP，参考最长上升子序列的模型。需要注意的是，本题目可以选择朝左飞，因此除了正着求一遍单调下降子序列，也需要逆着求一遍单调下降子序列（这个等价于正着求一遍单调上升子序列）。

C++代码如下，

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;
int n;
int a[N];
int f[N];

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
        
        int res = 0;
        //正着求一遍单调下降子序列
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                if (a[j] > a[i]) {
                    f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
            res = max(res, f[i]);
        }
        
        //正着求一遍单调上升子序列
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                if (a[j] < a[i]) {
                    f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
            res = max(res, f[i]);
        }
        
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

题目2：登山。给你N个数，表示山峰的高度，你必须先严格上升，然后严格下降，求最多观光的山峰数目。

解题思路：DP，最长上升子序列。以a[i]为起点的严格下降等价于从右往左的以a[i]为终点的严格上升。两遍DP，然后最终答案等于f[i] + g[i] - 1的最大值。

C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N], g[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    
    //求以a[i]为结尾的单调上升子序列
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[j] < a[i]) {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    //求以a[i]为结尾的单调上升子序列，从右往左
    for (int i = n; i >= 0; --i) {
        g[i] = 1;
        for (int j = n; j > i; --j) {
            if (a[i] > a[j]) {
                g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    int res = 0;//最终答案
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        res = max(res, f[i] + g[i] - 1);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

题目3：合唱队形。

解题思路：同题目2登山。只不过答案是n - max(f[i] + g[i] - 1)。

C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 110;
int n;
int a[N];
int f[N];
int g[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    
    //正着求一遍单调上升
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (a[j] < a[i]) {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    //逆着求一遍单调上升
    for (int i = n; i >= 0; --i) {
        g[i] = 1;
        for (int j = n; j > i; --j) {
            if (a[i] > a[j]) {
                g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    //求最大的f[i]+g[i]-1
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = max(ans, f[i] + g[i] - 1);
    
    cout << n - ans << endl;
    
    return 0;
}

题目4：友好城市。

解题思路：按照某个城市排序，然后在另一个城市当中计算最长上升子序列。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 5010;
int n;
vector<pair<int,int>> vec;
int f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        vec.emplace_back(a,b);
    }
    sort(vec.begin(), vec.end());
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (vec[i].second > vec[j].second) {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
        res = max(res, f[i]);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

题目5：最大上升子序列的和。给你N个数，问所有上升子序列中和的最大值是多少？

解题思路：DP，最长上升子序列模型。

状态定义f[i]：以第i个元素结尾的上升子序列的最大和。
状态转移，求以下情况的最大值：

1. 该子序列只有a[i]一个元素，即a[i]。
2. 如果a[1] < a[i]，那么有f[1] + a[i]。
3. 如果a[2] < a[i]，那么有f[2] + a[i]。
4. ……
5. 如果a[i-1] < a[i]，那么有f[i-1] + a[i]。

C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = a[i];
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[j] < a[i]) {
                f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
            }
        }
        res = max(res, f[i]);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}