近世代数理论基础43:根式可解与伽罗瓦群

根式可解与伽罗瓦群

引理:设p为素数,为p次本原单位根,是p次循环扩张,则有,使,故是根式扩张

证明:

引理:设为域扩张,则再K上的伽罗瓦群同构于在F上的伽罗瓦群的子群

证明:

引理:设为有限可分扩张,N为包含E的F上的最小正规扩张(称为E在F上的正规闭包),若有根式扩张序列,则也有根式扩张序列

证明:

定理:F的特征为0,且为首1多项式,,则在F上根式可解当且仅当在F上的伽罗瓦群为可解群

证明:

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