【机器学习】聚类（三）：原型聚类：高斯混合聚类
文章目录
- 一、实验介绍
-
- 1. 算法流程
- 2. 算法解释
- 3. 算法特点
- 4. 应用场景
- 5. 注意事项
- 二、实验环境
-
- 1. 配置虚拟环境
- 2. 库版本介绍
- 三、实验内容
-
- 0. 导入必要的库
- 1. 全局调试变量
- 2. 调试函数
- 3. 高斯密度函数（phi）
- 4. E步（getExpectation）
- 5. M步（maximize）
- 6. 数据缩放函数
- 7. 初始化参数
- 8. GMM EM算法函数
- 9. 主函数
- 四、代码整合
高斯混合聚类是一种基于概率模型的聚类方法，采用多个高斯分布的线性组合来表示数据的聚类结构。通过对每个样本的多个高斯分布进行加权组合，该算法能够更灵活地适应不同形状的聚类。
一、实验介绍
1. 算法流程
- 初始化：
初始化高斯混合分布的模型参数，包括每个高斯混合成分的均值向量 μ i \mu_i μi、协方差矩阵 Σ i \Sigma_i Σi 和混合系数 π i \pi_i πi。
{ ( μ 1 , Σ 1 , π 1 ) , ( μ 2 , Σ 2 , π 2 ) , . . . , ( μ k , Σ k , π k ) } \{(\mu_1, \Sigma_1, \pi_1), (\mu_2, \Sigma_2, \pi_2), ..., (\mu_k, \Sigma_k, \pi_k)\} {(μ1,Σ1,π1),(μ2,Σ2,π2),...,(μk,Σk,πk)}
-
迭代过程（EM算法）：
- Expectation (E) 步骤：
对于每个样本 X j X_j Xj 计算其由各混合成分生成的后验概率 γ i j \gamma_{ij} γij，表示样本属于第 i i i 个混合成分的概率。
γ i j = π i ⋅ N ( X j ∣ μ i , Σ i ) ∑ l = 1 k π l ⋅ N ( X j ∣ μ l , Σ l ) \gamma_{ij} = \frac{\pi_i \cdot \mathcal{N}(X_j | \mu_i, \Sigma_i)}{\sum_{l=1}^{k} \pi_l \cdot \mathcal{N}(X_j | \mu_l, \Sigma_l)} γij=∑l=1kπl⋅N(Xj∣μl,Σl)πi⋅N(Xj∣μi,Σi)
- Maximization (M) 步骤：
更新模型参数：- 新均值向量 μ i \mu_i μi 的更新： μ i = ∑ j = 1 m γ i j X j ∑ j = 1 m γ i j \mu_i = \frac{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} X_j}{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij}} μi=∑j=1mγij∑j=1mγijXj
- 新协方差矩阵 Σ i \Sigma_i Σi 的更新： Σ i = ∑ j = 1 m γ i j ( X j − μ i ) ( X j − μ i ) T ∑ j = 1 m γ i j \Sigma_i = \frac{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} (X_j - \mu_i)(X_j - \mu_i)^T}{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij}} Σi=∑j=1mγij∑j=1mγij(Xj−μi)(Xj−μi)T
- 新混合系数 π i \pi_i πi 的更新： π i = 1 m ∑ j = 1 m γ i j \pi_i = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} πi=m1∑j=1mγij
- Expectation (E) 步骤：
-
停止条件：
根据设定的停止条件，比如达到最大迭代轮数或模型参数的变化小于某一阈值。 -
簇划分：
根据得到的后验概率 γ i j \gamma_{ij} γij 确定每个样本的簇标记，将样本划入概率最大的簇中。C i = { X j ∣ argmax i γ i j , 1 ≤ i ≤ k } C_i = \{X_j | \text{argmax}_i \gamma_{ij}, 1 \leq i \leq k\} Ci={Xj∣argmaxiγij,1≤i≤k}
-
输出：
返回最终的簇划分 C = { C 1 , C 2 , . . . , C k } C = \{C_1, C_2, ..., C_k\} C={C1,C2,...,Ck}。
高斯混合聚类采用了迭代优化的方式，通过不断更新均值向量、协方差矩阵和混合系数，使得模型对数据的拟合更好。EM算法的E步骤计算后验概率，M步骤更新模型参数，整个过程不断迭代直至满足停止条件。最后，将每个样本划分到概率最大的簇中。
2. 算法解释
- 通过EM算法的E步骤，计算每个样本属于每个混合成分的后验概率。
- 通过EM算法的M步骤，更新每个混合成分的均值向量、协方差矩阵和混合系数，优化模型对数据的拟合。
- 算法通过迭代过程，不断调整模型参数，使得混合分布更好地刻画数据的分布。
3. 算法特点
- 通过多个高斯分布的组合，适用于不同形状的聚类结构。
- 采用EM算法进行迭代优化，灵活适应数据的复杂分布。
4. 应用场景
- 适用于数据具有多个分布的情况，且每个分布可以用高斯分布来描述。
- 在图像分割、语音识别等领域广泛应用。
5. 注意事项
- 初始参数的选择可能影响最终聚类效果，因此需要进行多次运行选择最优结果。
- 算法对异常值不敏感，但在特定场景下可能需要考虑异常值的处理。
二、实验环境
1. 配置虚拟环境
conda create -n ML python==3.9
conda activate ML
conda install scikit-learn matplotlib
2. 库版本介绍
| 软件包 | 本实验版本 |
|---|---|
| matplotlib | 3.5.2 |
| numpy | 1.21.5 |
| python | 3.9.13 |
| scikit-learn | 1.0.2 |
三、实验内容
0. 导入必要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn.datasets import load_iris
1. 全局调试变量
DEBUG = True
- 该变量控制是否在执行过程中打印调试信息。
2. 调试函数
def debug(*args, **kwargs):
global DEBUG
if DEBUG:
print(*args, **kwargs)
- 用于打印调试信息的函数。在整个代码中都使用了它以进行调试。
3. 高斯密度函数（phi）
def phi(Y, mu_k, cov_k):
# Check for and handle infinite or NaN values in Y
norm = multivariate_normal(mean=mu_k, cov=cov_k)
return norm.pdf(Y)
- 计算多元高斯分布的概率密度函数。
4. E步（getExpectation）
def getExpectation(Y, mu, cov, alpha):
N = Y.shape[0]
K = alpha.shape[0]
assert N > 1, "There must be more than one sample!"
assert K > 1, "There must be more than one gaussian model!"
gamma = np.mat(np.zeros((N, K)))
prob = np.zeros((N, K))
for k in range(K):
prob[:, k] = phi(Y, mu[k], cov[k]) * alpha[k]
prob = np.mat(prob)
for k in range(K):
gamma[:, k] = prob[:, k] / np.sum(prob, axis=1)
return gamma
- EM算法的E步骤，计算每个数据点属于每个簇的概率。主要步骤包括：
- 初始化一个零矩阵
gamma用于存储响应度。 - 对于每个簇，计算每个数据点属于该簇的概率（通过
phi函数计算），然后乘以该簇的混合系数。 - 归一化概率以得到响应度矩阵
gamma。
- 初始化一个零矩阵
5. M步（maximize）
def maximize(Y, gamma):
N, D = Y.shape
K = gamma.shape[1]
mu = np.zeros((K, D))
cov = []
alpha = np.zeros(K)
for k in range(K):
Nk = np.sum(gamma[:, k])
mu[k, :] = np.sum(np.multiply(Y, gamma[:, k]), axis=0) / Nk
diff = Y - mu[k]
cov_k = np.dot(diff.T, np.multiply(diff, gamma[:, k])) / Nk
cov_k += 1e-6 * np.identity(D) # Adding a small value to the diagonal for stability
cov.append(cov_k)
alpha[k] = Nk / N
cov = np.array(cov)
return mu, cov, alpha
- EM算法的M步骤，即更新模型参数，主要步骤包括：
- 初始化均值
mu、协方差矩阵列表cov和混合系数alpha。 - 对于每个簇，计算新的均值、协方差矩阵和混合系数。均值的更新是通过加权平均计算的，协方差矩阵的更新考虑了数据的权重（响应度），混合系数的更新是每个簇中数据点的权重之和。
- 初始化均值
6. 数据缩放函数
def scale_data(Y):
for i in range(Y.shape[1]):
max_ = Y[:, i].max()
min_ = Y[:, i].min()
Y[:, i] = (Y[:, i] - min_) / (max_ - min_)
debug("Data scaled.")
return Y
- 将数据集中的每个特征缩放到 [0, 1] 范围内。
7. 初始化参数
def init_params(shape, K):
N, D = shape
mu = np.random.rand(K, D)
cov = np.array([np.eye(D)] * K)
alpha = np.array([1.0 / K] * K)
debug("Parameters initialized.")
debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
return mu, cov, alpha
- 初始化GMM的参数（均值、协方差和混合系数）。
8. GMM EM算法函数
def GMM_EM(Y, K, times):
Y = scale_data(Y)
mu, cov, alpha = init_params(Y.shape, K)
for i in range(times):
gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
mu, cov, alpha = maximize(Y, gamma)
debug("{sep} Result {sep}".format(sep="-" * 20))
debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
return mu, cov, alpha
9. 主函数
if __name__ == '__main__':
# Load Iris dataset
iris = load_iris()
Y = iris.data
# Model parameters
K = 3 # number of clusters
iterations = 100
# Run GMM EM algorithm
mu, cov, alpha = GMM_EM(Y, K, iterations)
# Clustering based on the trained model
N = Y.shape[0]
gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
category = gamma.argmax(axis=1).flatten().tolist()[0]
# Plotting the results
for i in range(K):
cluster_data = np.array([Y[j] for j in range(N) if category[j] == i])
plt.scatter(cluster_data[:, 0], cluster_data[:, 1], label=f'Cluster {i + 1}')
plt.legend()
plt.title("GMM Clustering By EM Algorithm")
plt.xlabel("Feature 1")
plt.ylabel("Feature 2")
plt.show()
四、代码整合
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn.datasets import load_iris
DEBUG = True
def debug(*args, **kwargs):
global DEBUG
if DEBUG:
print(*args, **kwargs)
def phi(Y, mu_k, cov_k):
# Check for and handle infinite or NaN values in Y
norm = multivariate_normal(mean=mu_k, cov=cov_k)
return norm.pdf(Y)
def getExpectation(Y, mu, cov, alpha):
N = Y.shape[0]
K = alpha.shape[0]
assert N > 1, "There must be more than one sample!"
assert K > 1, "There must be more than one gaussian model!"
gamma = np.mat(np.zeros((N, K)))
prob = np.zeros((N, K))
for k in range(K):
prob[:, k] = phi(Y, mu[k], cov[k]) * alpha[k]
prob = np.mat(prob)
for k in range(K):
gamma[:, k] = prob[:, k] / np.sum(prob, axis=1)
return gamma
def maximize(Y, gamma):
N, D = Y.shape
K = gamma.shape[1]
mu = np.zeros((K, D))
cov = []
alpha = np.zeros(K)
for k in range(K):
Nk = np.sum(gamma[:, k])
mu[k, :] = np.sum(np.multiply(Y, gamma[:, k]), axis=0) / Nk
diff = Y - mu[k]
cov_k = np.dot(diff.T, np.multiply(diff, gamma[:, k])) / Nk
cov_k += 1e-6 * np.identity(D) # Adding a small value to the diagonal for stability
cov.append(cov_k)
alpha[k] = Nk / N
cov = np.array(cov)
return mu, cov, alpha
def scale_data(Y):
for i in range(Y.shape[1]):
max_ = Y[:, i].max()
min_ = Y[:, i].min()
Y[:, i] = (Y[:, i] - min_) / (max_ - min_)
debug("Data scaled.")
return Y
def init_params(shape, K):
N, D = shape
mu = np.random.rand(K, D)
cov = np.array([np.eye(D)] * K)
alpha = np.array([1.0 / K] * K)
debug("Parameters initialized.")
debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
return mu, cov, alpha
def GMM_EM(Y, K, times):
Y = scale_data(Y)
mu, cov, alpha = init_params(Y.shape, K)
for i in range(times):
gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
mu, cov, alpha = maximize(Y, gamma)
debug("{sep} Result {sep}".format(sep="-" * 20))
debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
return mu, cov, alpha
if __name__ == '__main__':
# Load Iris dataset
iris = load_iris()
Y = iris.data
# Model parameters
K = 3 # number of clusters
iterations = 100
# Run GMM EM algorithm
mu, cov, alpha = GMM_EM(Y, K, iterations)
# Clustering based on the trained model
N = Y.shape[0]
gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
category = gamma.argmax(axis=1).flatten().tolist()[0]
# Plotting the results
for i in range(K):
cluster_data = np.array([Y[j] for j in range(N) if category[j] == i])
plt.scatter(cluster_data[:, 0], cluster_data[:, 1], label=f'Cluster {i + 1}')
plt.legend()
plt.title("GMM Clustering By EM Algorithm")
plt.xlabel("Feature 1")
plt.ylabel("Feature 2")
plt.show()