[图论/迭代优化/动态规划]最大流问题 Edmonds-Karp算法（附POJ 1273解题）
图论中的最大流问题解法一般分为两类：
（1）增广路径方法。这个方法是由Ford-Fulkerson俩人提出来的，所以这一类的方法统称Ford-Fulkerson算法。增广路径又叫流量增益路径，增广的意思我个人理解是“可扩张的”，是由多条边。
这种方法总体思想是先找到一条从源点到汇点的增广路径，这条路径不管由多少条边组成，这条路径的容量只能是其中容量最小的边的容量。这其实就是桶的短板效应（我的理解是在图论中也就是最大流最小割定理）。如果我们能找到所有这样的路径（路径是可部分重叠的），那么最后一定能得到最大流。（证明就是最大流最小割定理）。当然，我们每找到一条之后，图其实是发生了一些变化的，我们必须做出一定的标记。所以这个算法不仅有迭代优化的思想（最大流算法实际上是线性规划的一种），也有标记的思想。
此类算法的不同之处在于找到所有增广路径的方法不同：Edmonds-Karp算法（下面简称EK算法）使用BFS（广度优先搜索）；Dinic算法使用DFS和层次图。
（2）预流法。我还没有看。。。主要包括：Push-relabel/Relabel-to-front/SAP算法等。
关于网络流问题，很多算法书上采用的讲解方式不尽相同。例如《数据结构与算法分析C++描述》（第三版中文版）中就采用的是残余图的方法，只讲了基本的Ford-Fulkerson方法，既无伪代码，又无具体的路径寻找方法；《算法设计与分析基础》（第二版中文版）采用了正向边和反向边结合的讲解，如果能同时对照残余图的思想则更好，而且此书还给出了EK算法的伪代码和算法思想。因此个人推荐后者作为参考书，本文中的代码也是基于EK算法的。
（一）如何确定一条路径的流量：标号法
根据EK算法，路径上的每个点都需要两个标记：一个标记从源点到当前节点实际还剩多少流量可用；另一个标记在这条路径上当前节点的前驱。
下面解释一下这两个标记，设当前节点下标为j，其第一个标记我们设为flow[j]。其前驱节点下标为i，其标记为flow[i]。另外设i与j之间的边的容量为x。
它们二者的关系遵循以下的公式：
flow[j] = min( flow[i], x)
这是为什么呢？我们定性的讨论一下。节点j的流量肯定通过边ij，来自于其前驱的节点i的。如果边的容量x大于节点i的流量，那么边ij并不能被充满；如果边的容量x小于节点i的流量，那么这些流量也不能全部经过边ij进入节点j。所以节点j的流量只能取其二者中更小的。
那么我们经过从源点到汇点的这种迭代（有点动态规划的意思：一个状态只跟其前一个状态有关系），最终就得到了这条路径上最小的流量（被短板限制的流量）。
（二）为什么要有反向边或者残余图？
前面我们确定了一条路径的最小流量之后，我们实际上可以把这部分流量从图中删去（这个可以看做减治的过程）：因为这个路径以后是不会更改的，而且路径之间互不影响。但是也会出现一定的问题：结果往往不是最优的。反向边和残余图可以解决这一问题（但是其证明极其复杂）。
（三）找到所有的路径
我们知道一次BFS或者DFS就能保证我们能找到图上所有的从源点到汇点的路径。这个就不再多说了。
（四）EK算法代码（实际上是POJ 1273题的解答）
题目见：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1273
本代码仅针对POJ的题目写的，如果挪作它用，还得改写一些地方。
2 author : MicroGrape
3 question : POJ 1273 Drainage Ditches
4 category : network max flow
5 */
6
7 #include <iostream>
8 #include <queue>
9
10 using namespace std;
11
12 const int NODES = 210 ;
13 const int INF = 0x7FFFFFFF ;
14
15 //the flow network
16 int capacity[NODES][NODES];
17 //record flows from one vertex to next
18 int flow[NODES];
19 // record the previous node in the temporary path
20 //if prev[i] != -1,means it's visited.
21 int prev[NODES];
22 //number of nodes in fact
23 int num;
24
25 //use Breadth First Search to find an augment path
26 int BFS(int src, int dest)
27 {
28 queue<int> next;
29 while(! next.empty())
30 next.pop();
31
32 for( int i = 0; i < NODES; ++ i )
33 prev[i] = -1 ;
34
35 next.push(src);
36 prev[src] = 0 ;
37 flow[src] = INF;
38
39 while( ! next.empty() )
40 {
41 int index = next.front();
42 next.pop();
43
44 //reach the destination
45 if( index == dest )
46 break ;
47 //find unvisited and adjacent vertex that are not full
48 for( int j = 1 ; j <= num ; ++ j )
49 {
50 if( j != src && capacity[index][j] > 0 && prev[j] == -1 )
51 {
52 //key step : find the minimun flow increment iteratively
53 flow[j] = min(capacity[index][j], flow[index]);
54 next.push(j);
55 prev[j] = index;//record the path
56 }
57 }
58 }
59 //not reach destination point
60 if(prev[dest] == -1 )
61 return -1 ;
62 //return the minimum flow increment
63 return flow[num];
64 }
65
66 //key function
67 int maxflow(int src, int dest)
68 {
69 int max_flow = 0 ;
70
71 int increment = 0 ;
72 while( ( increment = BFS(src, dest) ) != -1 )
73 {
74 max_flow += increment;
75
76 int k = dest;
77 while( k != src)
78 {
79 int last = prev[k];
80 //key step: update the flow, iteratively
81 capacity[last][k] -= increment;//decrease the forward edge
82 capacity[k][last] += increment;//add an opposite edge
83 k = last;
84 }
85 }
86 return max_flow;
87 }
88
89 int main()
90 {
91 //input the first line
92 int edges ;
93 while( cin>>edges>> num )
94 {
95 //input each edge
96 int u, v, value;
97 memset( capacity, 0, sizeof (capacity) );
98 for(int i = 0 ; i < edges ; ++ i )
99 {
100 cin>>u>>v>> value;
101 if( u == v )
102 continue ;
103 capacity[u][v] += value;
104 }
105 cout<<maxflow(1, num)<< endl;
106 }
107
108 return 0 ;
109 }
110
附：参考资料
网上的资料比较芜杂，代码往往没有注释。
但http://fuliang.javaeye.com/blog/372845 给出了一个比较清晰的java实现的版本，虽然有点小错误，不可以直接使用。