彩票收集问题（Coupon Collector's Problem）

【问题】

现在有一种彩票，总的有N个选择（比如36选7，那么总的选择就是36种），请问期望用多少次可以取到所有的彩票（有放回--当然，没放回就简单了。。。）？

同样的一个题目就是：一个袋子里放N个不同的球，有放回的取球。请问期望用多少次可以取到所有不同的球？

【解答】

粗略的答案，这个期望次数是随着N的规模成O(N*logN)的规模扩大的。

下面是分析：我们采取递推的方式，假设现在已经取到了i-1个不同的球或者不同的彩票（我们下边都用球代替），那么下一次取到第i个球的概率是：

( N - ( i - 1 ) ) / N

这个很显然：下次想取到一个跟以前的球不同的球，显然是在剩下的N-(i-1)个球中任取一个，概率就是除以总的球数。由于这个事件符合几何分布，所以其期望就是1/p。

我们用E(Xi)表示取到第i个球这个事件的期望的次数，那么总的取到所有的N个球的数学期望E(X)就是从E(X0),E(X1)......加到E(XN)。如下图所示（这里面的T就是我所说的X）：

也就是说这个数最后就等于n乘以调和级数。（调和级数就是从1/1加1/2，一直加到1/n，也就是公式中的Hn，harmonic progression）。而调和级数是有公式可求的，所以最后结果就是：

所以基本上这个答案是按照N*ln N增长的。

【参考文献】

http://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem

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