Openjudge/Poj 1183 反正切函数的应用

1.链接地址：

http://bailian.openjudge.cn/practice/1183

http://poj.org/problem?id=1183

2.题目：

总时间限制:

1000ms

内存限制:

65536kB

描述

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式

(其中0 <= x <= 1) 公式(1)

使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法：

PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)

通过简单的变换得到：

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)

利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)

使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

其中a,b和c均为正整数。

我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。

输入

输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。

输出

输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。

样例输入

1

样例输出

5

来源

Noi 01

3.思路：

数学题，暴力枚举会超时

思路参考http://hi.baidu.com/sjzezoi/item/f563a11c6accf0dd65eabff8

题目要求求出

1 / a = (1 / b+1 / c) / (1 - 1 / (b * c) )

==> ab + ac = bc - 1

令b=a+m, c=a+n

==> mn=a^2+1

所以m或n必然小于a，且为正整数

所以可以直接枚举m的值了，注意计算a*a可能爆longint

 

4.代码：

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstdio>

 3 

 4 using namespace std;

 5 

 6 int main()

 7 {

 8     long long a;

 9     cin>>a;

10 

11     long long m;

12     for(m = a; m > 0; --m)

13     {

14         if((a * a + 1) % m == 0) break;

15     }

16     cout<<(a * 2 + m + (a * a + 1) / m)<<endl;

17 

18     return 0;

19 }