【PID学习笔记10】PID公式分析

写在前面

前面已经将控制系统的基础知识点过了一遍，从本节开始，将正式学习PID控制的相关知识，将会从基本的PID公式概念解释，再基于matlab仿真介绍十几种数字式PID的基本概念。本文重点讲解PID的经典公式。

一、连续与离散的概念

• 连续就是时间和数值上是连续不间断的，在图形表示上是一条平滑的曲线。
• 离散就是采用时间采样的方式使得时间上离散；并且量化数值，使得数值是离散的。
• 图形化表示如下：

• 信号算式表示如下表：

运算	连续表示	运算	离散表示
积分	${\int }_0^{t}x(t)dt$	求和	$\sum _{n=0}^{N}x(n)$
求导	$\frac{dx(t)}{dt}$	变化率	$\frac{x(n)-x(n-1)}{\Delta t}$

二、PID公式分析

• 公式1:
  $$u(t)=k_p(e+\frac{1}{T_i}{\int }_0^{t}edt+T_d\frac{de}{dt})$$
  其中 $k_p$ 为比例系数，$T_i$ 为积分时间常数，$T_d$ 为微分时间常数。

上图是前面我们学过的闭环控制系统框图，我们看到图中标记的这个u(t)是控制器的输出，也就是控制器环节与执行器之间的信号量。公式中有一个熟悉的参数$e$，这是误差，也是图中控制系统中的$E$（等于期望输出减去实际输出）。

公式分成三部分相加，第一部分主要是误差变量，第二部分主要是一个从 $0$ 到 $t$ 对误差 $e$ 的积分运算，第三部分主要是对误差 $e$ 求导。

$k_p$是比例系数，$T_i$ 是积分时间，$T_d$ 是微分时间，这三个参数也是PID里要调的三个参数，这三个参数在实际 PID 实现中，如单片机实现、matlab、simulink仿真中都是经过化简后直接调节$K_p$、$K_i$、$K_d$这三个参数。

• 将公式1转化成常用的形式如下，分为连续形式和离散形式
• 连续形式的常用PID公式：

$$u(t)=k_{p}e+k_i{\int }_0^{t}edt+k_d\frac{de}{dt}$$

• 离散形式的常用PID公式：

$$u(t)=k_p{e}_i+k_i\sum _{i=0}^N{e}_i+k_d\frac{e_i-e_{i-1}}{\Delta t}$$

• 这样，闭环控制系统框图可以转化为：

三、PID控制器各校正环节的作用

• 比例环节：
  • 成比例地反映控制系统的偏差信号 $e(t)$，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。
• 积分环节：
  • 主要用于消除静态误差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数 $T$, $T$ 越大，积分作用越弱，反之则越强。
• 微分环节：
  • 反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。

四、以无人机高度控制的实例进一步解释公式

（1）Proportional比例控制
纯比例控制下：

• 对照前面的PID公式，按下图中的高度值计算。
  

我们来看第一幅图，假如我们要让无人机悬停在$10$米的高度，设为$h=10$，而此时，它的高度是$2$米，设为$h0=2$。那就有$e=h-h0=8$米的误差，假设Kp等于0.5，则比例环节$K_p\ast e=0.5\ast 8=4$米，比例控制就是每次调节高度是误差的$K_p$倍，第一次调节后，无人机上升了4米。

第二幅图，此时无人机的高度，设为$h1=2+4=6$米，也就是最初未调节前无人机的高度$2$米，再加上第1次调节的高度$4$米，现在是$6$米。那我们看现在的误差是多少，现在的误差是设定高度$10$米减去现在高度$6$米，即$e=h-h1=10-6=4$米。再乘以$K_p$，即$Kp\ast e=0.5\ast 4=2$米，目前还有两米误差，依次进行下去，随着误差的减小，每次调节上升的量也逐渐减小，但最终会接近$10$米的目标高度，这个过程就是比例控制。

可以看到比例系数$K_p$越大，系统反应越快，无人机可以更快的靠近目标，但比例控制也有天生的弱点，在实际过程中有着各种各样的干扰，比如无人机到达$8$米后，有持续的风将无人机向下吹，每次正好往下吹$1$米，而比例控制往上升的高度误差$2$乘以系数$0.5$，也正好是$1$米，这样的话，这个无人机就会悬停在这个高度，无法达到指定高度，这就是静态误差（也叫稳态误差）。也就是说虽然较大的比例系数能让系统快速到达目标值附近，但$K_p$调的再大，也避免不了与目标值存在稳态误差，这就需要引入积分控制。

• P作用下的阶跃响应

（2）Integral积分控制

在比例控制上，引入积分控制。

积分控制是对过去所有的误差求和，在离散的情况下，就是做累加，无人机经过两次控制，第一次误差是$8$米，第二次误差是$4$米，那么它的累积误差就是$12$米，如果积分系数是$0.1$，那即便此时向下吹的高度和比例控制上升的高度效果抵消，积分控制还是可以让无人机往上吹$1.2$米，这样就可以逐渐达到目标高度。

对于这个控制过程加入合适的积分控制系数后，被控量就能既快速又精准的到到目标值。但是，这样的控制仍然不完美，至少在一些对偏差控制要求比较严格的场合，仍然是一次失败的调节，因为这个控制曲线的超调量太大。如果这个曲线是汽车自动驾驶情况下方向盘的控制曲线，这么大的过冲，对于乘客来说，肯定是一场精心动魄的体验。

我们再回到无人的例子，我们经过三次控制累积误差已经从$12$变成$12.8$，乘以积分系数$K_i$等于$1.28$，而此时无人机距离目标高度只有$0.8$米，直接飞上去，就出现了过冲现象，此时就该微分控制出场了。

• PI作用下的阶跃响应
  

（3）Derivative微分控制

微分控制就是通过当前时刻与前一时刻误差量的差值，对未来做预测，如果差值为正，就认为误差在逐渐变大，需要加大控制强度，使误差降下来，如果误差为负，则误差在逐渐变小，控制强度可以小一点，让目标平稳缓和的到达指定值，这样我们给$K_d$一个合适的值，就可以让无人机平稳达到$10$米的高度。

• PID作用下的阶跃响应

从阶跃函数可以看出，系统超调量得到有效控制，最终得到了我们期望的一个曲线。

五、PID参数比较

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本节完

特别说明：文中如有编辑错误，感谢指出，会及时更新。本文的实例是之前学习阶段看的一个视频，感觉很有代表性，就分享在这里，如有侵权，请私信我删除。