【PID学习笔记 9 】控制系统的分析方法之二

写在前面

前文重点介绍时域分析法、本文将继续学习控制系统的另外几种分析方法，包括根轨迹法、频率分析法、状态空间分析法。再次强调，在这里只是做了一个系统化的概述，目的是让学习PID，特别是用PID的工程人员有一个对基础知识的再次复习巩固。如果你是为考学，则需要更深入系统学习的。

目录紧接上文。

一、控制系统的基本分析方法

1.3 根轨迹法

由于以前求解高阶系统特征比较困难，从而限制了时域分析法在高阶系统的应用。根轨迹法是通过系统开环传递函数寻求其闭环特征根的方法，它是一种图解的方法，根据系统闭环根轨迹图，不仅可以判别系统的稳定性，而且还可以分析系统的动态品质，从而为改善及设计系统提供依据。

• 所谓根轨迹，是指当系统开环传递函数的某个参数（如开环增益$K$）由零到无穷大变化时，闭环特征根在$s$平面上移动所画出的轨迹。

• 利用根轨迹分析系统的动态性能

  • 当控制系统在$K$由零到无穷大变化时，其闭环特征根是变化的，只要$K$值确定后，闭环的根也确定了，系统的动态品质也确定了。
  • 闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系：
    • 要求系统稳定，必须使所有的闭环极点$s_i$均位于$s$平面的左半部。
    • 要求系统快速性好，应使闭环极点远离虚轴。
    • 要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在$s$平面中与负实轴成$\pm 45$度夹角附近。
    • 要求动态过程尽快消失，则须使闭环极点之间的距离加大，零点应靠近极点。
  • 主导极点——离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点），对系统动态性能影响最大，起着决定性的作用。把这种极点称为主导极点。

    一般，其它极点的实部比主导极点的实部绝对值大5倍（粗略估算时2-3倍）以上时，则那些极点的作用可以忽略。工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。

  • 偶极子——某闭环极点与闭环零点的距离比它们的模值小一个数量极或更小，则称它们为偶极子。

    偶极子概念对控制系统的综合设计很有用，可以有意识地在系统中加入适当的闭环零点，构成偶极子，以抵消对动态性能影响较大的不利极点，使系统的动态过程变好。

1.4 频率分析法

频率法是经典控制理论中一种重要的分析系统品质的方法，分析问题的依据是系统的另一种数学模型——频率特性模型。

• 频域分析法特点

  • ⑴ 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律；
  • ⑵ 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能；
  • ⑶ 频率分析法为图解分析法；
  • ⑷ 它有一定的近似性。

• 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。在这种情况下，系统的输入信号是正弦信号，系统的内部信号以及系统的输出信号也都是稳态的正弦信号，这些信号的频率相同，幅值和相角则各不相同。

• 一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
  $$r(t)=A_{r}sinwt$$

• 在稳态情况下，系统的输出信号以及系统所有其它点的信号均为正弦信号，则稳态输出可写为:
  $$c(t)=A_{c}sin(wt+\varphi )$$

• 频域特性

  • 保持输入信号振幅$A_r$不变，逐次改变输入信号的频率$\omega$，则可得到一系列稳态输出的振幅$A_c$ 及相位$\varphi$，把振幅的比值$M$随频率变化的特性称为幅频特性，把相位$\varphi$随频率变化的特性称为相频特性，二者统称为频率特性。

$$M=\frac{A_c}{A_r}$$

• 频率分析法即利用系统的频率特性来进行分析。

1.5 状态空间分析法

• 状态空间的基本概念

  • （1）状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
  • （2）状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量组的每一个变量。
  • （3）状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要$n$个状态变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$,用这n个状态变量作为分量所构成的向量，就称为该系统的状态向量。
  • （4）状态空间 以各状态变量$x_1,x_2\dots ,x_n$为坐标轴所组成的$n$维空间称为状态空间。
    
    

• 控制系统的状态空间描述——状态空间表达式

  • （1）状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表征为系统状态变量变化率的一阶微分方程组。各方程的左端分别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量所组成的代数多项式。
  • （2）输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表征为一个变换关系的代数方程。
  • （3）状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态方程）。
  • （4）状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能形象地反映系统输入、输出和系统状态变量之间的相互关系。

• 状态空间表达式的建立

  • （1）根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
  • （2）根据系统的传递函数建立状态空间表达式 由系统传递函数求其相应的状态空间表达式。

• 状态空间方程的能控能观性判定方法

  • 格拉姆矩阵判据
  • 秩判据
  • PBH判据
  • 约当标准型判据

• 状态空间方程的稳定性判定方法

  • 李雅普诺夫第一法（又称间接法）
  • 李雅普诺夫第二法（又称直接法）

下节预告

至此，控制系统的基础知识已经全部介绍完成了，从下节开始，我们正式开始讲解PID算法。

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本节完

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要有自信，然后全力以赴 —— 假如有这种信念，任何事情十有八九都能成功。

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