高斯削元法

例子：

证明 ∣ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ∣ = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) ( b − c ) ( b − d ) ( c − d ) ( a + b + c + d ) 证明 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1&1 \\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^4&b^4&c^4&d^4\end{vmatrix}=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) 证明 ​1aa2a4​1bb2b4​1cc2c4​1dd2d4​ ​=(a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)(a+b+c+d)

证明：

∣ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ∣ = ∣ 1 1 1 1 0 b − a c − a d − a 0 b 2 − a b c 2 − a c d 2 − a d 0 b 4 − b 2 a 2 c 4 − c 2 a 2 d 4 − d 2 a 2 ∣ = ∣ b − a c − a d − a b 2 − a b c 2 − a c d 2 − a d b 4 − b 2 a 2 c 4 − c 2 a 2 d 4 − d 2 a 2 ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ 1 1 1 b c d b 2 ( a + b ) c 2 ( c + a ) d 2 ( d + a ) ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ 1 1 1 0 c − b d − b 0 c 2 ( c + a ) − b c ( a + b ) d 2 ( d + a ) − b d ( a + b ) ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ 1 1 1 0 c − b d − b 0 c ( c − b ) ( a + b + c ) d ( d − b ) ( a + b + d ) ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ∣ 1 1 c ( a + b + c ) d ( a + b + d ) ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ( a + b + c ) ( d − c ) = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) ( b − c ) ( b − d ) ( c − d ) ( a + b + c + d ) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1&1 \\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^4&b^4&c^4&d^4\end{vmatrix}= \\ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1&1 \\0&b-a&c-a&d-a\\0&b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\0&b^4-b^2a^2&c^4-c^2a^2&d^4-d^2a^2\end{vmatrix}=\\ \begin{vmatrix}b-a&c-a&d-a\\b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\b^4-b^2a^2&c^4-c^2a^2&d^4-d^2a^2\end{vmatrix}=\\ (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix}1&1&1\\b&c&d\\b^2(a+b)&c^2(c+a)&d^2(d+a)\end{vmatrix}=\\ (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&c-b&d-b\\0&c^2(c+a)-bc(a+b)&d^2(d+a)-bd(a+b)\end{vmatrix}=\\ (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&c-b&d-b\\0&c(c-b)(a+b+c)&d(d-b)(a+b+d)\end{vmatrix}=\\ (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{vmatrix}1&1\\c(a+b+c)&d(a+b+d)\end{vmatrix}=\\ (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(a+b+c)(d-c)=\\ (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) ​1aa2a4​1bb2b4​1cc2c4​1dd2d4​ ​= ​1000​1b−ab2−abb4−b2a2​1c−ac2−acc4−c2a2​1d−ad2−add4−d2a2​ ​= ​b−ab2−abb4−b2a2​c−ac2−acc4−c2a2​d−ad2−add4−d2a2​ ​=(b−a)(c−a)(d−a) ​1bb2(a+b)​1cc2(c+a)​1dd2(d+a)​ ​=(b−a)(c−a)(d−a) ​100​1c−bc2(c+a)−bc(a+b)​1d−bd2(d+a)−bd(a+b)​ ​=(b−a)(c−a)(d−a) ​100​1c−bc(c−b)(a+b+c)​1d−bd(d−b)(a+b+d)​ ​=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b) ​1c(a+b+c)​1d(a+b+d)​ ​=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(a+b+c)(d−c)=(a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)(a+b+c+d)