离散数学第一章---集合(一)

目录

• 集合的概念与表示
• 集合的关系与运算
• 集合关系的具象表示
• 集合的幂集、分划与覆盖
• 多重集合
• 实例解析

一. 集合的概念与性质

(1)集合与元素的概念

  集合是数学中的一个最基本的概念，就像公理一样，我们通常只是给予一种描述。
即：当把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来考虑时，这个整体便称为一个集合。

集合中所包含的个体，称为元素。

(2)集合中元素的性质

一般来说，集合中的元素有着确定性，互异性与无序性，

这里的确定性是指元素只能包含或不包含于集合中，不存在模棱两可的状态，
互异性是指集合中的元素不相同，
无序性是指集合中元素的排列方式不影响集合的同异。

(3)对无序性、互异性的补充讲解

无序性是指元素的排列顺序不影响集合，不同排列顺序下集合仍然是这一个，但是，如果是有序数组，则会影响。如果有n个元素，则称为有序n元组。

互异性是指集合中的元素互不相同，但是，在实际情况下，会出现相同元素的情况，这时引入了多重集合，这在后面会讲到。

(4)集合中元素的个数与比较

设集合Ａ，集合Ａ中元素的个数记作#A，即A的基数 。
根据集合的个数，将集合分为有限集和无限集，
空集是指集合中没有元素的集合，现在一般认为空集是有限集，
有限集的定义，是指集合中的元素是有限的，更精确的定义是不可与其自身的真子集对等的非空集合，以及空集。

有限集个数的比较是简单的，直接比较个数的大小即可，
对于无限集合，可以采用元素的对应方式来获得，
例如正整数集和从0到1的开区间中所有数这两个集合，

首先，建立对应关系，
从2到正无穷,对应1/n，n是从2到正无穷的整数，显然1/n是在这个开区间内的，
而根据无理数的定义，无理数不可由分数表示，故任取一个无理数：根号二分之一，来对应1,
则开区间内仍有元素无法与正整数集中的元素匹配，故开区间(0,1)比正整数集的元素多。

二. 集合的表示方法

(1)集合的表示方法一般有列举法和描述法。

列举法是用花括号弧将元素逐个列举出来，例如A={a,b,c},
而描述法，则是借用某种规则，将所有的元素限定对应，例如B={x|1

(2)集合中元素的表示

设集合A={x|1 可表示为a∈A, b∉A。

三. 特殊的集合

集合	描述	数学符号
空集	集合中不包含任何元素	Ø
整数集	元素为所有整数	Z
正整数集	元素为所有正整数	N*或N+
自然数集	元素为所有自然数，包含0	N
正有理数集	元素为所有正有理数集合	Q+
负有理数集	元素为所有负有理数	Q-
有理数集	元素为所有有理数	Q
实数集	元素为所有实数	R
复数集	元素为所有的复数	C