mark 编程先导课 第六讲 二进制表示浮点数

2019.11.26 星期二 小雨

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二进制表示浮点数：

	汇编语言IEEE二进制浮点数表示
单精度	32 位：1 位符号位，8 位阶码，23 位为有效数字的小数部分。大致的规格化范围：2-126 〜2127 。也被称为短实数 (short real)
双精度	64 位：1 位符号位，11 位阶码，52 位为有效数字的小数部分。大致的规格化范围：2-1022 〜21023 。也被称为长实数 (longreal)
扩展双精度	80 位：1 位符号位，15 位阶码，1 位为整数部分，63 位为有效数字的小数部分。大致的规格化范围：2-16382〜216383。也被称为扩展实数 (extended real)

单精度精度格式，如下图所示。32 位数值的最高有效位(MSB) 在最左边。标注为小数 (fraction) 的字段表示的是有效数字的小数部分。如同预想的一样，各个字节按照小端顺序（最低有效位 (LSB) 在起始地址上）存放在内存中。

image

1. 符号位:
   如果符号位为 1，则该数为负；如果符号位为 0，则该数为正。零被认为是正数。
2. 有效数字:
   在浮点数表达式 m*be 中，m 称为有效数字或尾数；b 为基数；e 为阶码。浮点数的有效数字（或尾数）由小数点左右的十进制数字构成。同样的概念也可以扩展到浮点数的小数部分。例如:

• 十进制数 123.154 可以表示为下面的累加和形式：

123.154 = ( 1 X 10² ) + (2 X 10¹ ) + ( 3 X 10⁰ ) + ( 1 X 10^-1 ) + ( 5 X 10^-2 )( 4 X 10^-3 )

• 二进制浮点数也可以使用加权位计数法。浮点数十进制数值 11.1011 表示为：

11.1011 = (1 X 2¹) + (1 X 2⁰ ) + (1 X 2^-1 )( 0 X 2^-2 ) + (1 X 2^-3 ) + (1 X 2^-4)

• 小数点右边的数字还有一种表达方式，即将它们列为分数之和，其中分母为 2 的幂。上例的和为 11/16 ( 或 0.6875)：

.1011 = 1/2+0/4+1/8+1/16=11/16

生成的小数部分非常直观。十进制分子 (11) 表示的就是二进制位组合 1011。如果小数点右边的有效位个数为 e 则十进制分母就为 2e ：上例中，e=4，则有 2e=16。下表列出了更多的例子，来展示将二进制浮点数转换为以 10 为基数的分数。

二进制浮点数	基数为 10 的分数	二进制浮点数	基数为 10 的分数
11.11	3 3/4	0.00101	5/32
101.0011	5 3/16	1.011	1 3/8
1101.100101	13 37/64	0.00000000000000000000001	1/8388608

表中最后一项为 23 位规格化有效数字可以保存的最小分数。为便于参考，下表列出了二进制浮点数及其等价的十进制分数和十进制数值。

二进制	十进制分数	十进制数值	二进制	十进制分数	十进制数值
.1	1/2	.5	.0001	1/16	.0625
.01	1/4	.25	.00001	1/32	.03125
.001	1/8	.125

3. 有效数字的精度
   用有限位数表示的任何浮点数格式都无法表示完整连续的实数。例如，假设一个简单的浮点数格式有 5 位有效数字，那么将无法表示范围在 1.1111〜10.000 之间的二进制数。比如，二进制数 1.11111 就需要更精确的有效数字。将这个思想扩展到 IEEE 双精度格式，就会发现其 53 位有效数字无法表示需要 54 位或更多位的二进制数值。