【数据结构和算法】递增的三元子序列

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前言

一、题目描述

二、题解

2.1 方法一：贪心 + 二分

2.2 方法二：贪心（优化）

三、代码

3.1 方法一：贪心 + 二分

3.2 方法二：贪心（优化）

四、复杂度分析

4.1 方法一：贪心 + 二分

4.2 方法二：贪心（优化）

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前言

这是力扣的334题，难度为中等，解题方案有很多种，本文讲解我认为最奇妙的两种。

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一、题目描述

给你一个整数数组 nums ，判断这个数组中是否存在长度为 3 的递增子序列。

如果存在这样的三元组下标 (i, j, k) 且满足 i < j < k ，使得 nums[i] < nums[j] < nums[k] ，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,5]
输出：true
解释：任何 i < j < k 的三元组都满足题意

示例 2：

输入：nums = [5,4,3,2,1]
输出：false
解释：不存在满足题意的三元组

示例 3：

输入：nums = [2,1,5,0,4,6]
输出：true
解释：三元组 (3, 4, 5) 满足题意，因为 nums[3] == 0 < nums[4] == 4 < nums[5] == 6

提示：

• 1 <= nums.length <= 5 * 105
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1

进阶：你能实现时间复杂度为 O(n) ，空间复杂度为 O(1) 的解决方案吗？

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二、题解

题目要我们判断是否存在长度为 3 的上升子序列，问题可以转换为求 nums 的最长上升子序列的长度。

如果 nums 的最长上升子序列长度大于等于 3，那么原问题答案为 True，否则为 False。

2.1 方法一：贪心 + 二分

思路与算法：

简单来说，就是在遍历每个数 nums[i] 的同时，维护一个具有单调性的 f[ ] 数组，其中 f[len]=x 代表长度为 len 的最长上升子序列最小结尾元素为 x，可以证明 f 数组具有单调性，因此每次可以通过二分找到小于 nums[i] 的最大下标，来作为 nums[i] 的前一个数。

综上，我们求得最长上升子序列的最大长度，然后和 3 比较即可得出答案。

2.2 方法二：贪心（优化）

方法二达到了进阶的要求！

思路与算法：

我们可以对 f 数组进行优化：使用有限变量进行替换（将 f 数组的长度压缩为 2），数组含义不变，f[1]=x 代表长度为 1 的上升子序列最小结尾元素为 x，f[2]=y 代表长度为 2 的上升子序列的最小结尾元素为 y。

从前往后扫描每个 nums[i]，每次将 nums[i] 分别与 f[1]] 和 f[2] 进行比较，如果能够满足 nums[i]>f[2]，代表 nums[i] 能够接在长度为 2 的上升子序列的后面，直接返回 True，否则尝试使用 nums[i] 来更新 f[1] 和 f[2]。

这样，我们只使用了有限变量，每次处理 nums[i] 只需要和有限变量进行比较。

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三、代码

3.1 方法一：贪心 + 二分

Java版本：

class Solution {
    public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
        int n = nums.length, ans = 1;
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, Integer.MAX_VALUE);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = nums[i];
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (f[mid] >= t) {
                    r = mid;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            f[r] = t;
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return ans >= 3;
    }
}

C++版本：

#include 
#include 
using namespace std;

class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector& nums) {
        int n = nums.size(), ans = 1;
        vector f(n + 1, INT_MAX);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = nums[i];
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + (r - l) / 2;
                if (f[mid] >= t) {
                    r = mid;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            f[r] = t;
            ans = max(ans, r);
        }
        return ans >= 3;
    }
};

Python版本：

def increasingTriplet(nums):
    n = len(nums)
    ans = 1
    f = [float('inf')] * (n + 1)
    for i in range(n):
        t = nums[i]
        l, r = 1, i + 1
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            if f[mid] >= t:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        f[r] = t
        ans = max(ans, r)
    return ans >= 3

3.2 方法二：贪心（优化）

Java版本：

class Solution {
    public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        long[] f = new long[3];
        f[1] = f[2] = Integer.MAX_VALUE;
        for (int t : nums) {
            if (f[2] < t) {
                return true;
            } else if (f[1] < t && t < f[2]) {
                f[2] = t;
            } else if (f[1] > t) {
                f[1] = t;
            }
        }
        return false;
    }
}

C++版本：

class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        long long f[3] = {INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX};
        for (int t : nums) {
            if (f[2] < t) {
                return true;
            } else if (f[1] < t && t < f[2]) {
                f[2] = t;
            } else if (f[1] > t) {
                f[1] = t;
            }
        }
        return false;
    }
};

Python版本：

class Solution:
    def increasingTriplet(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        f = [float('inf'), float('inf'), float('inf')]
        for t in nums:
            if f[2] < t:
                return True
            elif f[1] < t < f[2]:
                f[2] = t
            elif f[1] > t:
                f[1] = t
        return False

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四、复杂度分析

4.1 方法一：贪心 + 二分

• 时间复杂度：O(nlog⁡n)
• 空间复杂度：O(n)

4.2 方法二：贪心（优化）

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

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