两直线位置关系

两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：
一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；
二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；
三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.

类型一 两条直线的平行与垂直问题

两条直线的平行与垂直问题

使用情景：关于两直线的平行于垂直的问题
解题步骤：

第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；
第二步 得出结论.

例1. 若直线和直线互相垂直，则的值为( )
A．
B．
C．或
D．
【答案】C.

【解析】

当时，两直线方程为，，符合题意，

当时，两直线方程为，，不符合题意，

当，时，有，解得
【总结】在两直线的斜率存在的情况下，两直线垂直其斜率的乘积等于.若斜率不存在时，另一直线的斜率为也满足条件，这是解决这道题的易错点.

例2 若直线与平行，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
由题设可得,解之得或.当时两直线重合,故应舍去,故应选A.
考点：两直线平行的条件及运用.
【总结】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.

类型二 关于两条直线的交点问题

两条直线的交点问题

使用情景：两直线相交问题
解题步骤：

第一步 联立两直线的方程并求解；
第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；
第三步 得出结论.
例3 过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，求得，
故所求直线方程为，
即.
【总结】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程，代入原点坐标，求得，即可得到所求，这样运算量非常小.

类型三 对称问题

点与点、点与直线、直线与直线的对称问题

使用情景：点与点、点与直线、直线与直线的对称问题
解题步骤：

第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；
第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；
第三步 得出结论.
例4．过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程．
【答案】直线的方程为.

【解析】

设与的交点为，
则由题意知，点关于的对称点在上

代入的方程得，
解得，即点在直线上

所以直线的方程为.

考点：点关于点的对称；两直线相交问题．
【点评】点关于的对称点满足

例5．已知直线，点，求点关于直线 的对称点 的坐标．
【答案】.

【解析】

设，由已知得，
解得

故.
【总结】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
例6．已知直线，求直线关于直线的对称直线的方程．
【答案】.

【解析】在直线上取一点，如，

则关于直线的对称点必在直线上，

设对称点，则，
得.

设直线与直线的交点为，则由，得

又经过点，

所以由两点式的直线的方程为.

【总结】

点关于直线的对称点，则有