概率与数理统计学习笔记1-随机变量

概率与数理统计学了好几遍都学不清楚，今天再刷一遍，整理出第一篇学习笔记。

随机变量：随机事件的数量表现，两种类型，离散型随机变量和连续型随机变量

1. 离散型随机变量：变量取值有限个

分布律：每个取值的概率

• 0-1分布：取值只有0和1
• 伯努利试验，二项分布：伯努利试验是试验结果只有正反两种结果的试验；二项分布是n重伯努利试验；二项分布当n=1结果就是0-1分布
• 泊松分布：近似二项分布概率的计算方式，当n>20,p<=0.05用泊松分布计算效果更好

离散型随机变量的分布函数：也称累积概率函数，就是分布律用函数总结的形式展现

• 目的是为计算变量取值在某区间上的概率
• 定义为随机变量X<任意实数x的概率函数

2. 连续型随机变量：变量取值连续且无限个

概率密度函数：可以理解为计算概率的函数表达式

• 符合条件：f(x)>=0，积分负无穷到正无穷为1
• 分布类型：
  • 均匀分布，只有0和1/(b-a)
  • 指数分布，只有0和指数函数
  • 正态分布，平均值对应概率最大，成对称型，还有(0,1)标准正态分布

连续型随机变量的分布函数：也称累积概率函数，是概率密度函数的积分，用于计算连续型变量取值落在某区间上的概率

3. 随机变量的数字特征：

• 数学期望：即均值计算，概率和取值的加乘计算
• 方差：计算随机变量与均值的偏离程度
• 协方差与相关系数：
  • 协方差是用来判断两个变量是同向相关还是反向相关
  • 相关系数是判断相关程度

4. 大数定律和中心极限定理：

• 大数定律：样本数增多，会增加样本平均值接近总体数学期望的概率
• 中心极限定理：独立随机变量的个数不断增加，其和的分布趋于正态分布（数量>=30）

在这些概念的学习过程中，我认为的重点，也是最让我理不清的概率分布，分布律，概率密度函数和分布函数。我来聊聊我的理解。

先说分布律，是离散型随机变量的取值概率对应表。它是一个二维的表格，里面罗列了每个取值对应的概率。离散型随机变量的分布函数，就是用函数归纳总结整体的概率分布情况，可以一目了然概率是怎么分布的。

概率密度函数和连续型随机变量的分布函数却有不一样的分工：概率密度函数曲线看整体概率分布情况，分布函数用来求随机变量落在某区间的概率。概率密度函数是连续型随机变量独有的，概率密度函数曲线代表连续型随机变量的整体概率分布，但是每个取值对应的概率是趋近于零，计算每个取值对应的概率是没有意义的。也就是说概率密度函数曲线表示概率分布的情况，但是计算变量取值落在某区间的概率，用曲线与x轴相交部分的面积表示，而这个面积的计算就要用到连续型随机变量的分布函数。分布函数是对概率密度函数做积分，也是求随机变量X<任意实数x的累积概率。用累积概率代表面积的方式得到结果。

随机变量的概率分布的确很复杂，最初想着看看其他人的笔记，或许会更快的学会。但是现实是，每个人的表述方式不同，不一定能讲清楚每个西街店。我的建议是先看一遍工具书《概率论与数理统计》，根据公式推导大概了解每个概念，然后再看各位小伙伴的笔记，不仅加深印象，还能学到概念的实际运用。最后做总结笔记时，再看一遍工具书，就会彻底明白。