KNN缺失值的插补原理介绍（你肯定需要）

一、前言

缺失值是数据处理过程中不可跳过的一个步骤！当然，如果你的数据不存在缺失值，那就不需要这个文档了！你可能需要查看一下异常值了！！！
现在我们来理解一下缺失值（类型）：

• 完全随机缺失（missing completely at random，MCAR）：指的是数据的缺失是随机的，数据的缺失不依赖于任何不完全变量或完全变量。空值的出现与数据集中已知或者未知的特征是完全无关的（没有任何已知特征与其相关，类似自然选择无筛选条件）。比如：一调查问卷中的性别字段，是否缺失属于完全随机，它取决于调查对象。
• 随机缺失 (missing at random,MAR)：指的是数据的缺失不是完全随机的，即该类数据的缺失依赖于其他完全变量。比如：一个关于教育的数据集缺失了很多小孩的IQ测试分数，只是因为相比十二岁的孩子，四岁的孩子很少会通过这个测试。所以出现的空值与IQ实际值没有相关性，而与年龄相关。IQ字段缺失记录主要集中在低年龄人群中！
• 非随机缺失 (missing not at random,MNAR)：指的是数据的缺失依赖于不完全变量自身。 比如：只有具有低分个体的IQ变量值缺失。

二、基于KNN算法的数值插补

我们可以简单的理解其算法为：通过距离测量来识别数据集中空间相似或相近的 $k$个样本。然后，使用这些 $k$ 样本来估计缺失数据点的值。每个样本的缺失值使用数据集中找到的 $k$ 邻域的平均值进行插补。

2.1 含有缺失值的欧几里得距离的计算

在存在缺失坐标的情况下，通过忽略缺失值并放大非缺失坐标的权重来计算欧几里德距离。
$$d_{xy}=\sqrt{weight\times squareddistancefrompresentcoordinates}$$
其中，
$$weight=\frac{Totalnumberofcoordinates}{Numberofpresentcoordinates}$$

示例
例如：两点（3，NA，5）和（1，0，0）之间的欧几里德距离为：
$$\sqrt{\frac{3}{2}\times \{(3-1{)}^2+(5-0{)}^2\}}=6.595453$$

示例1：两个一维数组的计算

# 基于sklearn.metrics.pairwise的计算
import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import nan_euclidean_distances
x = [[3, np.nan, 5]]
y = [[1, 0, 0]]
nan_euclidean_distances(x, y)
# reuslts
Out[6]: array([[6.59545298]])

示例2：具有多个维度的单个数组

x = [[3, np.nan, 5], [1, 0, 0]]
nan_euclidean_distances(x, x)

# results
Out[8]: 
array([[0.        , 6.59545298],
       [6.59545298, 0.        ]])

2.2 基于KNNImputer插补方法

基本思想：KNNImputer通过欧几里德距离矩阵寻找最近邻样本，使用最近邻样本的对应位置的非空数值的均值填补缺失的数值。

Step 1: 计算距离

from sklearn.impute import KNNImputer
import numpy as np

X = [[1, 2, np.nan], [3, 4, 3], [np.nan, 6, 5], [8, 8, 7]]
np.array(X)
Out[16]: 
array([[ 1.,  2., nan],
       [ 3.,  4.,  3.],
       [nan,  6.,  5.],
       [ 8.,  8.,  7.]])

nan_euclidean_distances(X, X)
Out[12]: 
array([[ 0.        ,  3.46410162,  6.92820323, 11.29158979],
       [ 3.46410162,  0.        ,  3.46410162,  7.54983444],
       [ 6.92820323,  3.46410162,  0.        ,  3.46410162],
       [11.29158979,  7.54983444,  3.46410162,  0.        ]])

结果：以点（1，2，np.nan）为例，距离最近的两个是（3，4，3）和（np.nan，6，5）；此时，点（1，2，np.nan）中的缺失值为：$\frac{(5+3)}{2}=4$

Step 2. 填补缺失值

imputer = KNNImputer(n_neighbors=2)
imputer.fit_transform(X)
Out[14]: 
array([[1. , 2. , 4. ],
       [3. , 4. , 3. ],
       [5.5, 6. , 5. ],
       [8. , 8. , 7. ]])

大家可以自己计算一下另一个缺失值。