概率论知识回顾（十）：二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

概率论知识回顾（十）

重点：二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

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知识回顾

1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示？
2. 分布函数有什么性质？
3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示？
4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么？
5. 联合密度函数有什么性质？
6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示？
7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示？

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知识解答

1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示？
   • 对于二维连续随机变量 $(X,Y)$ 来说，函数 $F(x,y)$ 表示 $F(x,y)=P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y\le y\end{array}\right\}$ 我们就称 $F(x,y)$ 为 二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数。
2. 分布函数有什么性质?
   • 对每个自变量单调不减
     • 对任意固定 x, 当 $y_1<y_2$, 有 $F(x,y_1)\le F(x,y_2)$
     • 对任意固定 y, 当 $x_1<x_2$, 有 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$
   • 对每个自变量右连续
     • 对任意固定 x, $F(x,y_0+0)=F(x,y_0)$
     • 对任意固定 y, $F(x_0+0,y)=F(x_0,y)$
   • $\{\begin{array}{ll}F(-\infty ,-\infty )=0& \\ F(x,-\infty )=0& \forall x\in R\\ F(-\infty ,y)=0& \forall y\in R\\ F(+\infty ,+\infty )=1& \end{array}$
   • 对任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$ 都有 ： $$P\left\{\begin{array}{c}{x}_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\end{array}\right\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0$$
3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示？
   • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似，都是其组成的单个随机变量的分布律。
   • $F_X(x)=P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y<+\infty \end{array}\right\}=F(x,+\infty )$ 表示 二维连续随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后，只看 x 的分布。
   • 同理 $F_Y=F(+\infty ,y)$
4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么？
   • 如果对于随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 的任意取值都有一个非负可积的函数 $f(x,y)$ 使得 $F(x)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$ 。 就称 $f(x,y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数。
5. 联合密度函数有什么性质？
   • $f(x,y)\ge 0$
   • ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
   • 如果 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处连续，则有 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
   • 对于任何平面区域 $G$, 都有 $P\left\{\begin{array}{c}(X,Y)\in G\end{array}\right\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$
6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示？
   • 设 $S_G=A$ ，若密度函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& (x,y)\in G\\ 0,& else\end{array}$ 则称为均匀分布。
7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示？
   • $f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$
   • 其中: ${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,|\rho |<1$
   • 记作 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$