概率论知识回顾（十一）：边缘密度函数，条件密度函数及其独立性

概率论知识回顾（十一）

重点：边缘密度函数，条件密度函数及其独立性

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知识回顾

1. 什么是二维连续随机变量的边缘密度函数？
2. 二维连续随机变量的分布函数以及条件密度函数是什么？
3. 二维连续随机变量X，Y 相互独立的条件是什么？从分布函数和密度函数两方面解答。
4. n维连续随机变量的条件分布函数怎么表示？
5. n维条件密度函数怎么表示？
6. n维连续随机变量什么条件下相互独立？分别用分布函数和密度函数进行解答。

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知识解答

1. 什么是二维连续随机变量的边缘密度函数？

   • 类似于随机变量的边缘分布，对于二维随机变量 $(X,Y)$ 来说, 每个变量各自的密度函数即为随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X(或Y)$ 的 边缘密度函数。即 $f_{{}_X}(x)$ 为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘密度函数。
   • 公式定义上即：${\int }_{-\infty }^x{f}_{{}_X}(x)dx=F_{{}_X}(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dudv$
     • 因此可知 ： $f_{{}_X}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
     • 同理就有 ：$f_{{}_Y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

2. 二维连续随机变量的条件分布函数以及条件密度函数是什么？

   • 二维随机变量的条件分布 $F_{{}_{X|Y}}(x|y)$ 表示，在 $y$ 发生的前提下，$x$ 的分布，即 $P\left\{\begin{array}{c}X\le x|Y=y\end{array}\right\}$。有 $P\left\{\begin{array}{c}X\le x|Y=y\end{array}\right\}=\frac{P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y=y\end{array}\right\}}{P\left\{\begin{array}{c}Y=y\end{array}\right\}}$由于 $P\left\{\begin{array}{c}Y=y\end{array}\right\}=0$，很难进行计算。因此我们一般使用条件密度函数。

   • 条件密度函数即： $\{\begin{array}{l}{f}_{{}_{X|Y}}(x|y)=\frac{f(u,y)}{f_{{}_Y}(y)}\\ f_{{}_{Y|X}}(y|x)=\frac{f(x,v)}{f_{{}_X}(x)}\end{array}$

     • 求解：我们利用极限来进行求解：

     • 根据上面的公式有:

       $$\begin{array}{rl}{F}_{{}_{X|Y}}(x|y)& =P\left\{\begin{array}{c}X\le x|Y=y\end{array}\right\}\\ & =\frac{P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y=y\end{array}\right\}}{P\left\{\begin{array}{c}Y=y\end{array}\right\}}\\ & =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{P\left\{\begin{array}{c}X\le x,y<Y\le y+\Delta y\end{array}\right\}}{P\left\{\begin{array}{c}y<Y\le y+\Delta y\end{array}\right\}}\\ & =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{F(+\infty ,y+\Delta y)-F(+\infty ,y)}\\ & =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_{-\infty }^x{\int }_y^{y+\Delta y}f(u,v)dudv}{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_y^{y+\Delta y}f(u,v)dudv}\\ & =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_{-\infty }^x{\int }_y^{y+\Delta y}f(u,v)dudv/\Delta y}{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_y^{y+\Delta y}f(u,v)dudv/\Delta y}\\ & =\frac{{\int }_{-\infty }^{x}f(u,y)dx}{{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx}={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_{{}_Y}(y)}du\end{array}$$

       因此可知 $f_{{}_{X|Y}}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{{}_Y}(y)}$

3. 二维连续随机变量X，Y 相互独立的条件是什么？从分布函数和密度函数两方面解答。

   • 设二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数和边缘分布函数分别是 $F(x,y),F_{{}_X}(x),F_{{}_Y}(y)$。如果对于所有的$x,y$ 都有 $F(x,y)=F_{{}_X}(x)F_{{}_Y}(y)$ 则说明随机变量 $X,Y$ 相互独立。

   • 从密度函数的角度：

     设二维随机变量$(X,Y)$的密度函数和边缘密度函数分别是 $f(x,y),f_{{}_X}(x),f_{{}_Y}(y)$, 如果 $f(x,y)=f_{{}_X}(x)f_{{}_Y}(y)$ 几乎处处成立，则说明随机变量 $(X,Y)$ 两个变量之间相互独立。

   • 上面的几乎处处成立代表着对于任意 $(x,y)\in D$ 都有 $f(x,y)=f_{{}_X}(x)f_{{}_Y}(y)$, 而这里的 $D$ 表示连续的点，即 $D=\left\{\begin{array}{c}(x,y)|f(x,y)在(x,y)处连续,f_{{}_X}(x)在x处连续，f_{{}_Y}(y)在y处连续\end{array}\right\}$

4. n维连续随机变量的条件分布函数怎么表示？

   • $F_{{}_{X_{m+1},X_{m+2},\cdots ,X_n|X_1,X_2,\cdots ,X_m}}(x_{m+1},x_{m+2},\cdots ,x_n|x_1,x_2,\cdots x_m)={\int }_{-\infty }^{x_{m+1}}{\int }_{-\infty }^{x_{m+2}}\cdots {\int }_{-\infty }^{x_n}\frac{f(x_1,x_2,\cdots ,x_m,u_{m+1},u_{m+2},\cdots u_n)}{f_{{}_{X_1,X_2,\cdots ,X_m}}(x_1,x_2,\cdots ,x_m)}d{u}_{m+1}d{u}_{m+2}\cdots d{u}_n$
   • 其中: $f_{{}_{X_1,X_2,\cdots ,X_m}}(x_1,x_2,\cdots ,x_m)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d{x}_{m+1}d{x}_{m+2}\cdots d{x}_n$

5. n维条件密度函数怎么表示？

   • $f_{{}_{X_{m+1},X_{m+2},\cdots ,X_n|X_1,X_2,\cdots ,X_m}}(x_{m+1},x_{m+2},\cdots ,x_n|x_1,x_2,\cdots x_m)=\frac{f(x_1,x_2,\cdots ,x_m,x_{m+1},x_{m+2},\cdots x_m)}{f_{{}_{X_1,X_2,\cdots ,X_m}}(x_1,x_2,\cdots ,x_m)}$

6. n维连续随机变量什么条件下相互独立？分别用分布函数和密度函数进行解答。

   • 若对于n维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$对于所有的$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 都有：

     $$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=F_{{}_{X_1}(x_1)}{F}_{{}_{X_2}(x_2)}\cdots F_{{}_{X_n}(x_n)}$$

     说明向量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立。

   • 借鉴二维连续随机变量相互独立的密度函数表示有，若：

     $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f_{{}_{X_1}(x_1)}{f}_{{}_{X_2}(x_2)}\cdots f_{{}_{X_n}(x_n)}$$

     在n维空间 $R_n$ 上几乎处处成立，则说明 相互独立。当然这里的处处值的是那些点在密度函数以及边缘密度函数上连续的点。