杭电OJ——ACM 2553.N皇后问题

N皇后问题

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问题描述
       有一个n行n列的棋盘，你手里有个n个棋子（即皇后），每下一枚棋子，棋子所处的同行、同列、两条对角线，都不能再放置棋子了，如下图。现在，键盘交给你，写一个程序，计算n颗棋子在n*n棋盘上的放置方法总数。

算法思想：
       这道题用到的算法思想是递归和回溯，接下来我简要讲一下我对递归和回溯的理解，如果有任何错误的地方或者更好的说法，请大家多多指正。
       递归：递归就是一种不断调用自身函数的算法，举个最经典的例子：“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是什么呢？讲的是，从前有座山，山上有座庙。。。”，这样一种不断调用自身的算法。不过，递归算法必须要有一个结束条件。
       递归算法的目的是：将难度规模为1的问题通过递归求出难度规模为n的问题，但前提是不同难度规模问题求解的方法一致。
       回溯：回溯是一种从一个初始状态出发，不断往下一个最优状态探索，如果没办法再往下探索，或者是下一个可探索状态不是优解，就往回退一步，直到最后得出结果的算法。
       在该题上的理解就是，如果皇后从第一行开始放第一个，记录下来限制条件，往下一行放下一个皇后，如果下一行由于与限制条件冲突，放不下，就需要回退到上一行的皇后，重新放置到该行的另一位置。

解题思路：

       首先，出于对时间限制的考虑，先将1到10个的皇后数进行运算得到结果存放在结果数组内。然后，我们只要根据输入的皇后数，输出对应下标的数组结果输出即可。
       其次，我们就可以开始构建算法。了，首先是递归算法，递归结束条件是“k>n”，每次递归的时候都是进入下一行的放置，就要k++，意思即是已经放置到了第几个皇后，以及是已经放置到了第几行，直到第n个放置完毕。
       再说到回溯算法，每当递归一行放置成功时，都会记录下已被占据的行、列、对角线。如果，递归到下一行时，该行的所有位置都在已被占据的位置里，则都不符合条件，无法向下一行递归。这是就会回退了，回退到上一行重新放置，在上一行已被占据的行、列、对角线的记录清空。放置成功后，继续递归，再判断能不能继续递归到下一行，无法继续递归则回溯。
       最后，就是说到：我们怎么记录被占领的行、列、主对角线、副对角线呢？由于每次递归都是向下一行继续放置，所以占据行不需记录。在这里，我定义了三个数组，分别记录被占据的列、主对角线、副对角线。占据列的记录容易做到，只需要你放置的时候，将循环的列数对应的下标数的数组元素赋为1即可。说到两条对角线，需要你去找到规律，将数组里对应下标的元素赋为1即可表明已被占领。我这里用的是 坐标法 去找对角线的规律，我们可以从下图看出不同位置的对角线有其规律：

主对角线的横纵坐标轴相加等于一个常数

副对角线的横纵坐标轴相减等于一个常数

C++版AC代码

#include
using namespace std;
#include
int n,sum,result[15],xflect[15],lflect[30],rflect[30];
void dfs(int k){
    if(k>n){
        sum++;
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(xflect[i]==0&&lflect[k+i]==0&&rflect[k-i+n]==0){
            xflect[i]=1;
            lflect[k+i]=1;
            rflect[k-i+n]=1;
            dfs(k+1);
            xflect[i]=0;
            lflect[k+i]=0;
            rflect[k-i+n]=0;
        }
    }
}
int main(){
    for(int i=1;i<=10;i++){
        n=i;
        sum=0;
        dfs(1);
        result[i]=sum;
    }
    cin>>n;
    while(n!=0){
        cout<<result[n]<<endl;
        cin>>n;
    }
    return 0;
}

C++运行展示：

JAVA版AC代码

import java.util.Scanner;
class dfs{
    int n,sum;
    int result[] = new int[15];
    int xflect[] = new int[15];
    int lflect[] = new int[30];
    int rflect[] = new int[30];
    public dfs(){}
    public void dfs1(int k){
        if(k>n){
            this.sum++;
            return ;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(xflect[i]==0&&lflect[k+i]==0&&rflect[k-i+n]==0){
                xflect[i]=1;
                lflect[k+i]=1;
                rflect[k-i+n]=1;
                this.dfs1(k+1);
                xflect[i]=0;
                lflect[k+i]=0;
                rflect[k-i+n]=0;
            }
        }
    }
}
class Main{
    public static void main(String[] args) {
        dfs d = new dfs();
        Scanner scan =new Scanner(System.in);
        for(int i=1;i<=10;i++){
            d.n=i;
            d.sum=0;
            d.dfs1(1);
            d.result[i]=d.sum;
        }
        d.n = scan.nextInt();
        while(d.n!=0){
            System.out.println(d.result[d.n]);
            d.n = scan.nextInt();
        }
        scan.close();
    }
}

JAVA运行展示：

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