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微积分学习笔记-积分法则：替换积分法

不定积分法则

  1. 常倍数法则: (k不依赖于x)
  2. 负法则:
  3. 和与差法则:

例1 改写积分常数

例2 求积分

例3 求和的积分


微分形式的幂法则

如果u是任一可微函数，则

例4. 使用幂法则

例5. 用一个常数调整积分

\int \sqrt {4t - 1} dt =\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} du (令u = 4t - 1)= \frac{1}{4} * \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{6} + C = \frac{(4t-1)^{\frac{3}{2}}}{6} + C

替换积分法

当f和g'都是连续函数时，为求积分，采用以下步骤。

  1. 作替换, 则, 得到积分.
  2. 对u积分
  3. 结果用g(x)替代u

例6 解

令, 得

例7 用替换法解

令, 得

例8. 解

令u = 2x, 得:


例9. 求积分

令


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