线性代数基础【1】行列式

第一节 行列式的基本概念和性质

一、基本概念

①逆序

1,2和2,1是一对逆序

②逆序数

1,2,3,5,4的逆序数为1;1,3,2,5,4逆序数为4;

③行列式

④余子数和代数余子数

行列式挖掉一个数(例如aij),将原行列式去掉i行j列的行列式M,则M为余子数,代数余子数记为Aij,如果(i+j)为偶数,Aij=M,如果(i+j)为奇数,则Aij=-M

知识补充:使用定义法计算行列式

以三阶行列式为例:

符号确定,列序号的逆序数的个数为奇数,则为负号,逆序数的个数为偶数,则为正号

所以 D = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33 - a13 * a22 * a31

二、几个特殊的行列式

①对角、上(下)三角行列式

②范德蒙行列式

三、行列式的计算性质

(一)一般行列式转化为上(下)三角行列式的性质

①行列式和置换行列式相等

置换行列式:行列交换,aij和aji交换

②对调两行(或两列),改变符号

③对某行(或某列)可以直接把公因子提出来

推论1:如果某行(或某列)全为0,那么行列式结果为0

推论2:如果某两行(或某两列)相同,那么行列式结果为0

推论3:如果某两行(或某两列)成比例,那么行列式结果为0

④行列式某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式之和,即:

⑤行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即

k为任意常数

(二)行列式的降阶性质

1.行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即

2.行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式之积的和为零即

(三)行列式计算常用公式

①|AB|=|A|*|B|

②|AA^-1| = |A|*|A^-1| = 1

③|kA| = k^n|A|

第二节 行列式的应用-克拉默法则