P1471 方差 题解
题目背景
滚粗了的 HansBug 在收拾旧数学书，然而他发现了什么奇妙的东西。
题目描述
蒟蒻 HansBug 在一本数学书里面发现了一个神奇的数列，包含
�
N 个实数。他想算算这个数列的平均数和方差。
输入格式
第一行包含两个正整数
�
,
�
N,M，分别表示数列中实数的个数和操作的个数。
第二行包含
�
N 个实数，其中第
�
i 个实数表示数列的第
�
i 项。
接下来
�
M 行，每行为一条操作，格式为以下三种之一：
操作
1
1：1 x y k ，表示将第
�
x 到第
�
y 项每项加上
�
k，
�
k 为一实数。
操作
2
2：2 x y ，表示求出第
�
x 到第
�
y 项这一子数列的平均数。
操作
3
3：3 x y ，表示求出第
�
x 到第
�
y 项这一子数列的方差。
输出格式
输出包含若干行，每行为一个实数，即依次为每一次操作
2
2 或操作
3
3 所得的结果（所有结果四舍五入保留
4
4 位小数）。
输入输出样例
输入 #1复制
5 5
1 5 4 2 3
2 1 4
3 1 5
1 1 1 1
1 2 2 -1
3 1 5
输出 #1复制
3.0000
2.0000
0.8000
说明/提示
关于方差：对于一个有
�
n 项的数列
�
A，其方差
�
2
s
2
定义如下：
�
2
=
1
�
∑
�
=
1
�
(
�
�
−
�
‾
)
2
s
2
=
n
1
i=1
∑
n
(A
i
−
A
)
2
其中
�
‾
A
表示数列
�
A 的平均数，
�
�
A
i
表示数列
�
A 的第
�
i 项。
样例说明：
操作步骤 输入内容 操作要求 数列 输出结果 说明
0
0 - - 1 5 4 2 3 - -
1
1 2 1 4 求
[
1
,
4
]
[1,4] 内所有数字的平均数 1 5 4 2 3 3.0000 平均数
=
(
1
+
5
+
4
+
2
)
÷
4
=
3.0000
=(1+5+4+2)÷4=3.0000
2
2 3 1 5 求
[
1
,
5
]
[1,5] 内所有数字的方差 1 5 4 2 3 2.0000 平均数
=
(
1
+
5
+
4
+
2
+
3
)
÷
5
=
3
=(1+5+4+2+3)÷5=3，方差
=
(
(
1
−
3
)
2
+
(
5
−
3
)
2
+
(
4
−
3
)
2
+
(
2
−
3
)
2
+
(
3
−
3
)
2
)
÷
5
=
2.0000
=((1−3)
2
+(5−3)
2
+(4−3)
2
+(2−3)
2
+(3−3)
2
)÷5=2.0000
3
3 1 1 1 1 将
[
1
,
1
]
[1,1] 内所有数字加
1
1 2 5 4 2 3 - -
4
4 1 2 2 -1 将
[
2
,
2
]
[2,2] 内所有数字加
−
1
−1 2 4 4 2 3 - -
5
5 3 1 5 求
[
1
,
5
]
[1,5] 内所有数字的方差 2 4 4 2 3 0.8000 平均数
=
(
2
+
4
+
4
+
2
+
3
)
÷
5
=
3
=(2+4+4+2+3)÷5=3，方差
=
(
(
2
−
3
)
2
+
(
4
−
3
)
2
+
(
4
−
3
)
2
+
(
2
−
3
)
2
+
(
3
−
3
)
2
)
÷
5
=
0.8000
=((2−3)
2
+(4−3)
2
+(4−3)
2
+(2−3)
2
+(3−3)
2
)÷5=0.8000
数据规模：
数据点
�
N
�
M 备注
1
∼
3
1∼3
�
≤
8
N≤8
�
≤
15
M≤15 -
4
∼
7
4∼7
�
≤
1
0
5
N≤10
5
�
≤
1
0
5
M≤10
5
不包含操作
3
3
8
∼
10
8∼10
�
≤
1
0
5
N≤10
5
�
≤
1
0
5
M≤10
5
-
我们把方差公式展开
所以只需要维护一个区间平方和和区间和
当我们更新一个区间加时
所以pushdown就很好写了
具体见代码
想要进一步学习的可以看这里
#include
#include
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
#define Maxn 300010
using namespace std;
double sega[Maxn],segb[Maxn];
double mark[Maxn];
void pushup(int x)
{
sega[x]=sega[x<<1]+sega[x<<1|1];
segb[x]=segb[x<<1]+segb[x<<1|1];
}
void pushdown(int rt,int x)
{
if (mark[rt])
{
segb[rt<<1]+=2*mark[rt]*sega[rt<<1]+(x-x/2)*mark[rt]*mark[rt];
segb[rt<<1|1]+=2*mark[rt]*sega[rt<<1|1]+(x/2)*mark[rt]*mark[rt];
sega[rt<<1]+=(x-x/2)*mark[rt];
sega[rt<<1|1]+=(x/2)*mark[rt];
mark[rt<<1]+=mark[rt];
mark[rt<<1|1]+=mark[rt];
mark[rt]=0;
}
}
void build(int rt,int l,int r)
{
if (l==r)
cin>>sega[rt],segb[rt]=sega[rt]*sega[rt];
else
{
int mid=(l+r)/2;
build(lson);
build(rson);
pushup(rt);
}
}
double query_a(int rt,int l,int r,int L,int R)
{
//--L--l--r--R--
if (l>=L && r<=R)
return sega[rt];
else
{
pushdown(rt,r-l+1);
int mid=(r+l)/2;
double ret=0;
if (mid>=L)
ret+=query_a(lson,L,R);
if (mid
return ret;
}
}
double query_b(int rt,int l,int r,int L,int R)
{
//--L--l--r--R--
if (l>=L && r<=R)
return segb[rt];
else
{
pushdown(rt,r-l+1);
int mid=(r+l)/2;
double ret=0;
if (mid>=L)
ret+=query_b(lson,L,R);
if (mid
return ret;
}
}
void update(int rt,int l,int r,int L,int R,double x)
{
if (l>=L && r<=R)
mark[rt]+=x,segb[rt]+=2*x*sega[rt]+x*x*(r-l+1),sega[rt]+=(r-l+1)*x;
else
{
pushdown(rt,r-l+1);
int mid=(r+l)/2;
if (mid>=L)
update(lson,L,R,x);
if (mid
pushup(rt);
}
}
double sqr(double x)
{
return x*x;
}
main()
{
int n,m,x,y,c;
double z;
scanf("%d %d",&n,&m);
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&c);
if (c==2)
scanf("%d%d",&x,&y),printf("%.4lf\n",query_a(1,1,n,x,y)/(y-x+1));
if (c==1)
scanf("%d%d",&x,&y),cin>>z,update(1,1,n,x,y,z);
if (c==3)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
double sum1=query_b(1,1,n,x,y)/(y-x+1),sum2=query_a(1,1,n,x,y)/(y-x+1);
double ans=sum1-sum2*sum2;
printf("%.4lf\n",ans);
}
}
}