数据结构与算法：字符串匹配BF&RK算法

BF算法

假设我们要从下面的主串S="goodgoogle"中，找到T="google"这个子串的位置。我们通常需要下面的步骤。

1. 主串S第一位开始，S与T前三个字母都匹配成功，但S第四个字母是d而T的是g。第一位匹配失败。如图所示，其中竖直连线表示相等，闪电状弯折连线表示不等。

• 主串S第二位开始，主串S首字母是o，要匹配的T首字母是g，匹配失败，如图所示。

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• 主串S第三位开始，主串S首字母是o，要匹配的T首字母是g，匹配失败，如图所示。

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• 主串S第四位开始，主串S首字母是d，要匹配的T首字母是g，匹配失败，如图所示。

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• 主串S第五位开始，S与T，6个字母全匹配，匹配成功，如图所示。

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  简单的说，就是对主串的每一个字符作为子串开头，与要匹配的字符串进行匹配。对主串做大循环，每个字符开头做T的长度的小循环，直到匹配成功或全部遍历完成为止。

  时间复杂度分析

  最好情况

  那就是一开始就区配成功，比如“googlegood”中去找“google”，时间复杂度为O(1)。稍差一些，如果像刚才例子中第二、三、四位一样，每次都是首字母就不匹配，那么对T串的循环就不必进行了，比如“abcdef-google”中去找“google”。那么时间复杂度为O(n+m)，其中n为主串长度，m为要匹配的子串长度。根据等概率原则，平均是(n+m)/2次查找，时间复杂度为O(n+m)。

  最坏情况

  就是每次不成功的匹配都发生在串T的最后一个字符。举一个很极端的例子。主串为S="00000000000000000000000000000000000000000000000001"，而要匹配的子串为T="0000000001"，前者是有49个“0”和1个“1”的主串，后者是9个“0”和1个“1”的子串。在匹配时，每次都得将T中字符循环到最后一位才发现：哦，原来它们是不匹配的。这样等于T串需要在S串的前40个位置都需要判断10次，并得出不匹配的结论，如图所示。

  

  直到最后第41个位置，因为全部匹配相等，所以不需要再继续进行下去，如图5-6-7所示。如果最终没有可匹配的子串，比如是T="0000000002"，到了第41位置判断不匹配后同样不需要继续比对下去。因此最坏情况的时间复杂度为O((n-m＋1)*m)。

  

  代码实现

  定义一个串

  #define OK 1
  #define ERROR 0
  #define TRUE 1
  #define FALSE 0
  #define MAXSIZE 40    /* 存储空间初始分配量 */
  typedef int Status;   /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
  typedef int ElemType; /* ElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int */
  typedef char String[MAXSIZE+1]; /*  0号单元存放串的长度 */
  

  生成一个其值等于chars的串T

  // 生成一个其值等于chars的串T
  Status StrAssign(String T,char *chars)
  {
      int i;
      if(strlen(chars) > MAXSIZE)
          return ERROR;
      else
      {
          T[0] = strlen(chars);
          for(i = 1;i <= T[0];i++)
              T[i] =* (chars + i - 1);
          return OK;
      }
  }
  

  清空一个串

  Status ClearString(String S)
  {
      S[0] = 0;/*  令串长为零 */
      return OK;
  }
  

  BF算法思路

  思路:

  1. 分别利用计数指针i和j指示主串S和模式T中当前正待比较的字符位置,i初值为pos,j的初值为1;

  2. 如果2个串均为比较到串尾,即i和j均小于等于S和T的长度时, 则循环执行以下的操作:

     • S[i]和T[j]比较,若相等,则i 和 j分别指示串中下一个位置,继续比较后续的字符;
     • 若不相等,指针后退重新开始匹配. 从主串的下一个字符串(i = i - j + 2)起再重新和模式第一个字符(j = 1)比较;

  3. 如果j > T.length, 说明模式T中的每个字符串依次和主串S找中的一个连续字符序列相等,则匹配成功,返回和模式T中第一个字符的字符在主串S中的序号(i-T.length);否则匹配失败,返回0;

  代码实现

  int Index_BF(String S, String T,int pos){
      //i用于主串S中当前位置下标值，若pos不为1，则从pos位置开始匹配
      int i = pos;
      //j用于子串T中当前位置下标值
      int j = 1;
      //若i小于S的长度并且j小于T的长度时，循环继续
      while (i <= S[0] && j <= T[0]) {
          //比较的2个字母相等,则继续比较
          if (S[i] == T[j]) {
              i++;
              j++;
          } else
          {
              //不相等,则指针后退重新匹配
              //i 退回到上次匹配的首位的下一位;
              //加1,因为是子串的首位是1开始计算;
              //再加1的元素,从上次匹配的首位的下一位;
              i = i-j+2;
              //j 退回到子串T的首位
              j = 1;
          }
      }
      //如果j>T[0],则找到了匹配模式
      if (j > T[0]) {
          //i母串遍历的位置 - 模式字符串长度 = index 位置
          return  i - T[0];
      }else{
          return -1;
      }
  }
  

  RK算法

  RK算法算是BF算法的变种，前人已经为我们想到了新的办法，那可不可以把我们的子串转换成哈希值来比较呢？

  将不同的字符组合能够通过某种公式的计算映射成不同的数字!

  例如：比较 “abc” 与 “cde” ; 比较 123 与 456; 是一样的吗?

  RK算法的核心思想就是设计一个尽可能完善的哈希算法，将我们的子串转换成哈希值来进行比较。

  为了让大家知道接下来推演过程, 以数字为例,会更容易让大家理 解, 它的全集是 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. d = 10; 模式串p = 123, 主串s = 65127451234

  

  RK算法核心思想

  将’当前字母’ - ‘a’ = 数字

  例如

  a - a = 0；

  b - a = 1；

  c - a = 2；

  d - a = 3；

  e - a = 4；

  ...

  小写字母之间存在的进制

  “ cba ” = ‘c’ * 26 26 + ‘b’ * 26 + ‘a’ * 1 = 2 * 26 * 26 + 1 26 + 0 * 1

  = 1378

  “ cba ” = c ✖ 262 + b ✖ 261 + a ✖260 = 2 ✖ 262 + 1 ✖ 261 + 0 ✖260

  = 1352 + 26 + 0 = 1378

  主串拆解的子串与模式串的哈希值比较?

  

  

  子串哈希值求解规律

  相邻的2个子串 s[i] 与 s[i+1] (i表示子串从主串中的起始位置,子串的长度 都为m). 对应的哈希值计算公式有交集. 也就说我们可以使用s[i-1]计算出s[i] 的哈希值;

  以数字为例, 它的全集是 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. d = 10; 模式串p = 123, 主串s = 65127451234

  

  

  s[i+1] 实现上是上一个s[i]去掉最高位数据,其余的m-1为字符乘以 d进制. 再加上最后一个为字符得到;

  

  代码实现

  //d 表示进制
  #define d 26
  

  比较两个哈希值是否相等

  //为了杜绝哈希冲突. 当前发现模式串和子串的HashValue 是一样的时候.还是需要二次确认2个字符串是否相等.
  int isMatch(char *S, int i, char *P, int m)
  {
      int is, ip;
      for(is=i, ip=0; is != m && ip != m; is++, ip++)
          if(S[is] != P[ip])
              return 0;
      return 1;
  }
  

  算出d进制下的最高位

  //算出最d进制下的最高位
  //d^(m-1)位的值;
  int getMaxValue(int m){
      int h = 1;
      for(int i = 0;i < m - 1;i++){
          h = (h*d);
      }
      return h;
  }
  

  RK算法代码实现

  /*
   * 字符串匹配的RK算法
   * Author：Rabin & Karp
   * 若成功匹配返回主串中的偏移，否则返回-1
   */
  int RK(char *S, char *P)
  {
      //1. n:主串长度, m:子串长度
      int m  = (int) strlen(P);
      int n  = (int) strlen(S);
      printf("主串长度为:%d,子串长度为:%d\n",n,m);
      //A.模式串的哈希值; St.主串分解子串的哈希值;
      unsigned int A   = 0;
      unsigned int St  = 0;
      //2.求得子串与主串中0~m字符串的哈希值[计算子串与主串0-m的哈希值]
      //循环[0,m)获取模式串A的HashValue以及主串第一个[0,m)的HashValue
      //此时主串:"abcaadddabceeffccdd" 它的[0,2)是ab
      //此时模式串:"cc"
      //cc = 2 * 26^1 + 2 *26 ^0 = 52+2 = 54;
      //ab = 0 * 26^1 + 1 *26^0 = 0+1 = 1;
      for(int i = 0; i != m; i++){
          //第一次 A = 0*26+2;
          //第二次 A = 2*26+2;
          A = (d*A + (P[i] - 'a'));
          //第一次 st = 0*26+0
          //第二次 st = 0*26+1
          St = (d*St + (S[i] - 'a'));
      }
      //3. 获取d^m-1值(因为经常要用d^m-1进制值)
      int hValue = getMaxValue(m);
      //4.遍历[0,n-m], 判断模式串HashValue A是否和其他子串的HashValue 一致.
      //不一致则继续求得下一个HashValue
      //如果一致则进行二次确认判断,2个字符串是否真正相等.反正哈希值冲突导致错误
      //注意细节:
      //① 在进入循环时,就已经得到子串的哈希值以及主串的[0,m)的哈希值,可以直接进行第一轮比较;
      //② 哈希值相等后,再次用字符串进行比较.防止哈希值冲突;
      //③ 如果不相等,利用在循环之前已经计算好的st[0] 来计算后面的st[1];
      //④ 在对比过程,并不是一次性把所有的主串子串都求解好Hash值. 而是是借助s[i]来求解s[i+1] . 简单说就是一边比较哈希值,一边计算哈希值;
      for(int i = 0; i <= n-m; i++){
          if(A == St)
              if(isMatch(S,i,P,m))
                  //加1原因,从1开始数
                  return i+1;
          St = ((St - hValue*(S[i]-'a'))*d + (S[i+m]-'a'));
      }
      return -1;
  }
  

  总结

  RK算法主要的解决思路就是在BF算法的基础上，将子串转换成哈希值来进行比较，它算是BF算法的升级版。