数据结构定义和算法--字符串匹配BF&RK算法

BF 算法

BF 算法中的 BF 是 Brute Force 的缩写，也叫朴素匹配算法。用一句话来概括，那就是，我们在主串中，检查起始位置分别是 0、1、2....n-m 且长度为 m 的 n-m+1 个子串，看有没有跟模式串匹配的。

在极端情况下，我们每次都比对 m 个字符，要比对 n-m+1 次，所以，这种算法的最坏情况时间复杂度是 O(n*m)。 但在实际的开发中，它却是一个比较常用的字符串匹配算法。原因有两点：

第一，实际的软件开发中，大部分情况下，模式串和主串的长度都不会太长。大部分情况下，算法执行效率要比这个高很多。

第二，朴素字符串匹配算法思想简单，代码实现也非常简单。在工程中，在满足性能要求的前提下，简单是首选。这也是我们常说的KISS（Keep it Simple and Stupid）设计原则。

RK 算法

RK 算法的全称叫 Rabin-Karp 算法，是由它的两位发明者 Rabin 和 Karp 的名字来命名的。通过哈希算法对主串中的 n-m+1 个子串分别求哈希值，然后逐个与模式串的哈希值比较大小。哈希值是一个数字，数字之间比较是否相等是非常快速的。

哈希算法设计

假设要匹配的字符串的字符集中只包含 K 个字符，我们可以用一个 K 进制数来表示一个子串，这个 K 进制数转化成十进制数，作为子串的哈希值。 

这种哈希算法有一个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。

事先计算好 26^0、26^1、26^2……26^(m-1)，并且存储在一个长度为 m 的数组中，公式中的“次方”就对应数组的下标。当我们需要计算 26 的 x 次方的时候，就可以从数组的下标为 x 的位置取值，省去了计算的时间。 

 整个 RK 算法包含两部分，计算子串哈希值和模式串哈希值与子串哈希值之间的比较。第一部分，可以通过设计特殊的哈希算法，只需要扫描一遍主串就能计算出所有子串的哈希值了，所以这部分的时间复杂度是 O(n)。模式串哈希值与每个子串哈希值之间的比较的时间复杂度是 O(1)，总共需要比较 n-m+1 个子串的哈希值，所以，这部分的时间复杂度也是 O(n)。所以，RK 算法整体的时间复杂度就是 O(n)。

散列冲突/哈希冲突

K进制哈希算法不会出现哈希冲突，但是哈希值容易超出整数范围。我们可以通过设计哈希值较小的算法来避开这个问题，比如我们可以把字符串中每个字母对应的数字相加作为哈希值，或者每一个字母从小到大对应一个素数后相加。

实际上，解决方法很简单。当我们发现一个子串的哈希值跟模式串的哈希值相等的时候，我们只需要再对比一下子串和模式串本身就好了。

《数据结构与算法之美》 -- 王争