DS冲刺整理做题定理（三）图论合集

第三期，总结性地来说一下图论，也是数据结构中最核心最难的一章~

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目录

一.图的基本概念

二.图的存储及其基本操作

三.图的遍历

四.图的应用

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        在数学中，图是描述于一组对象的结构，其中某些对象对在某种意义上是“相关的”。这些对象对应于称为顶点的数学抽象（也称为节点或点），并且每个相关的顶点对都称为边（也称为链接或线）。通常，图形以图解形式描绘为顶点的一组点或环，并通过边的线或曲线连接。

        图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。为了避免符号上的混淆，我们总是默认V∩B=Ø。集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。

        图可用于在物理、生物、社会和信息系统中建模许多类型的关系和过程，许多实际问题可以用图来表示。因此，图论成为运筹学、控制论、信息论、网络理论、博弈论、物理学、化学、生物学、社会科学、语言学、计算机科学等众多学科强有力的数学工具。在强调其应用于现实世界的系统时，网络有时被定义为一个图，其中属性(例如名称)之间的关系以节点和或边的形式关联起来。

一.图的基本概念

1.完全图：有n（n-1）/2条边的无向图~

2.子图：某个图边集和点集的子集所构成的生成子图~

3.连通：在任意两个顶点之间都存在着边~（无向图的极大连通子图称为连通分量）

4.对于有向图：如果任意两点之间都有双向路径，则该图被称为强连通的；有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量~

5.生成树：包含图中所有顶点的一个极小连通子图~

（极小连通子图：既要保持图连通又要使得边数最少得子图~）

6.简单路径：顶点不重复出现的路径~

二.图的存储及其基本操作

1.邻接矩阵：将结点之间的关系存储在一个矩阵中，无向图和有向图的略有不同~

2.邻接表法：将每个节点所连通的结点以链表的方式接在后面，并以此类推~

3.十字链表：专用于有向图的链式结构，分为弧结点和顶点结点两种，对于Vi的尾和头都容易找到

4.邻接多重表：专用于无向图的链式结构，同样分为两种结点~

三.图的遍历

1.DFS：深度优先搜索，类比图的先序遍历~

2.BFS：广度优先搜索，类比与二叉树的层序遍历~

四.图的应用

1.最小生成树：生成树包含所有顶点，并且尽可能包含少的边；若某棵生成树的权值之和最小，则其称为最小生成树~

2.Prim是根据边来构造最小生成树的过程，克鲁斯卡尔算法则是通过每次挑选权值最小的边~

3.迪杰斯特拉算法用于计算单源最短路径，而弗洛伊德则可以找到所有顶点之间的最短路径~

4.拓补排序，关键路径暂不赘述~