微分和导数（一）

1.微分：

假设我们有⼀个函数f : R → R，其输⼊和输出都是标量。如果f的导数存在，这个极限被定义为

如果f′(a)存在，则称f在a处是可微的。如果f在⼀个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。导数f′(x)解释为f(x)相对于x的瞬时变化率。所谓的瞬时变化率是基于x中的变化h，且h接近0。

给定y = f(x)，其中x和y分别是函数f的⾃变量和因变量。以下表达式是等价的：

2.偏导数：

设y = f(x1, x2, . . . , xn)是⼀个具有n个变量的函数。y关于第i个参数xi的偏导数为：

对于偏导数的表⽰，以下是等价的：

3.导数和微分的理解：

导数是描述函数变化的快慢，微分是描述函数变化的程度。

导数是比值，微分是增量。

导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。微分是一个函数表达式，用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。

导数是针对一个自变量的，微分是针对所有自变量的，多元函数的导数是指多元函数的偏导数,它是指在多元函数中,每个变量的偏导数的集合。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

微分的几何意义是用局部切线段近似代替曲线段，即非线性函数局部线性化。

4.梯度：

梯度是⼀个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
设函数f : Rn → R的输⼊是⼀个n维向量x = [x1, x2, . . . , xn]⊤，并且输出是⼀个标量。函数f(x)相对于x的梯度是⼀个包含n个偏导数的向量:

5.链式法则：

在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，所以微分这些函数比较难，链式法则可以被⽤来微分复合函数。
假设函数y = f(u)和u = g(x)都是可微的，根据链式法则：

假设可微分函数y有变量u1, u2, . . . , um，其中每个可微分函数ui都有变量x1, x2, . . . , xn，根据链式法则：