【数学证明 笔记01】证明常见的逻辑方法有哪些?

文章目录

  • 一、声明
  • 二、直接证明
  • 三、反证法
  • 四、数学归纳法
  • 五、对证法
  • 六、构造法
  • 七、分情况讨论

一、声明

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二、直接证明

原理
通过一系列逻辑推理和推断来证明目标命题成立,从已知的前提出发,依次推导出结论

示例
命题:对任意实数 x x x x 2 ≥ 0 x^2 \geq 0 x20
证明:假设 x x x 是任意实数。如果 x = 0 x=0 x=0,那么 x 2 = 0 x^2=0 x2=0,符合不等式。如果 x ≠ 0 x\neq 0 x=0,那么 x 2 x^2 x2 由两个相同的因数乘积得到,因此 x 2 > 0 x^2>0 x2>0。因此,对于任意实数 x x x x 2 ≥ 0 x^2 \geq 0 x20 成立。

三、反证法

原理
假设要证明的命题为假,然后推导出一个矛盾结果,从而证明原命题为真。

示例
命题:不存在最大的素数。
证明:假设存在最大的素数 p p p。然后考虑 p ! + 1 p!+1 p!+1,它不会被 2 , 3 , . . . , p 2,3,...,p 2,3,...,p 中的任何素数整除。因此, p ! + 1 p!+1 p!+1 要么是素数(不等于 p p p),或者有一个大于 p p p 的素因子,与“ p p p 是最大素数”这个假设矛盾。

四、数学归纳法

原理
用于证明所有自然数(通常是正整数)具有某个性质。通过证明基础情况为真,再证明如果对某个特定的自然数命题成立,则它对下一个自然数也成立。

示例
命题 1 + 2 + 3 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2} 1+2+3+...+n=2n(n+1)
证明:首先证明基础情况:当 n = 1 n=1 n=1 时,左边等于 1 1 1,右边等于 1 ( 1 + 1 ) 2 \frac{1(1+1)}{2} 21(1+1) 也等于 1 1 1。假设对于某个正整数 k k k,命题成立,即 1 + 2 + 3 + . . . + k = k ( k + 1 ) 2 1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2} 1+2+3+...+k=2k(k+1)。现在考虑 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 的情况,有 1 + 2 + 3 + . . . + k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 1+2+3+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} 1+2+3+...+k+(k+1)=2k(k+1)+(k+1)=2(k+1)(k+2),因此对于任意正整数 n n n,命题都成立。

五、对证法

原理
用于证明某个命题的真假。通过同时证明命题的“如果”和“只当”部分,从而得出结论。

示例
命题:一个整数是偶数当且仅当它可以被 2 整除。
证明:要证明这个命题,我们需要证明两个方向:首先证明如果一个整数是偶数,那么它可以被 2 整除;其次证明如果一个整数可以被 2 整除,那么它是偶数。

六、构造法

原理
通过构造一个满足条件的对象来证明命题的存在性,或者构造一个反例来证明命题的不存在性。

示例
命题:存在无穷多的素数。
证明:我们可以使用构造法证明。假设存在有限个素数 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1, p_2, ..., p_n p1,p2,...,pn。我们考虑 N = p 1 ⋅ p 2 ⋅ . . . ⋅ p n + 1 N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1 N=p1p2...pn+1。因为 N N N 大于等于 1 1 1,所以它要么是一个素数(不在列表中),要么有一个素因子不在列表中。因此,总是能够找到新的不在列表中的素数,这证明了存在无穷多个素数。

七、分情况讨论

原理
将问题根据不同情况进行分析,并分别进行推导,通常用于处理复杂的情况。

示例
命题:对任意实数 x x x ∣ x ∣ ≥ 0 |x| \geq 0 x0
证明:分情况讨论。如果 x ≥ 0 x \geq 0 x0,那么显然 ∣ x ∣ = x ≥ 0 |x| = x \geq 0 x=x0。如果 x < 0 x < 0 x<0,那么 ∣ x ∣ = − x |x| = -x x=x,由于 x < 0 x < 0 x<0,所以 − x > 0 -x > 0 x>0,因此 ∣ x ∣ = − x ≥ 0 |x| = -x \geq 0 x=x0。综上所述,对任意实数 x x x ∣ x ∣ ≥ 0 |x| \geq 0 x0

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