【数学证明 笔记01】证明常见的逻辑方法有哪些？

一、声明

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二、直接证明

原理
通过一系列逻辑推理和推断来证明目标命题成立，从已知的前提出发，依次推导出结论

示例
命题：对任意实数$x$，$x^2\ge 0$。
证明：假设 $x$ 是任意实数。如果 $x=0$，那么 $x^2=0$，符合不等式。如果 $x\ne 0$，那么 $x^2$ 由两个相同的因数乘积得到，因此 $x^2>0$。因此，对于任意实数$x$，$x^2\ge 0$ 成立。

三、反证法

原理
假设要证明的命题为假，然后推导出一个矛盾结果，从而证明原命题为真。

示例
命题：不存在最大的素数。
证明：假设存在最大的素数 $p$。然后考虑 $p!+1$，它不会被 $2,3,...,p$ 中的任何素数整除。因此，$p!+1$ 要么是素数（不等于 $p$），或者有一个大于 $p$ 的素因子，与“$p$ 是最大素数”这个假设矛盾。

四、数学归纳法

原理
用于证明所有自然数（通常是正整数）具有某个性质。通过证明基础情况为真，再证明如果对某个特定的自然数命题成立，则它对下一个自然数也成立。

示例
命题：$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
证明：首先证明基础情况：当 $n=1$ 时，左边等于 $1$，右边等于 $\frac{1(1+1)}{2}$ 也等于 $1$。假设对于某个正整数 $k$，命题成立，即 $1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$。现在考虑 $n=k+1$ 的情况，有 $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$，因此对于任意正整数 $n$，命题都成立。

五、对证法

原理
用于证明某个命题的真假。通过同时证明命题的“如果”和“只当”部分，从而得出结论。

示例
命题：一个整数是偶数当且仅当它可以被 2 整除。
证明：要证明这个命题，我们需要证明两个方向：首先证明如果一个整数是偶数，那么它可以被 2 整除；其次证明如果一个整数可以被 2 整除，那么它是偶数。

六、构造法

原理
通过构造一个满足条件的对象来证明命题的存在性，或者构造一个反例来证明命题的不存在性。

示例
命题：存在无穷多的素数。
证明：我们可以使用构造法证明。假设存在有限个素数 $p_1,p_2,...,p_n$。我们考虑 $N=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_n+1$。因为 $N$ 大于等于 $1$，所以它要么是一个素数（不在列表中），要么有一个素因子不在列表中。因此，总是能够找到新的不在列表中的素数，这证明了存在无穷多个素数。

七、分情况讨论

原理
将问题根据不同情况进行分析，并分别进行推导，通常用于处理复杂的情况。

示例
命题：对任意实数$x$，$|x|\ge 0$。
证明：分情况讨论。如果 $x\ge 0$，那么显然 $|x|=x\ge 0$。如果 $x<0$，那么 $|x|=-x$，由于 $x<0$，所以 $-x>0$，因此 $|x|=-x\ge 0$。综上所述，对任意实数$x$，$|x|\ge 0$。