DFS之剪枝

常用的几种剪枝策略

1.优化搜索顺序

大部分情况下 我们应该优先搜索分支较少的节点

例如 分组问题 可以先从花费较大的元素搜索 可以减少状态分支

2.排除等效冗余

如果不考虑顺序的话 尽量用组合的方式搜索 即与组内元素顺序无关

3.可行性剪枝

在搜索过程中已经检测到不合法 可以提前退出

4.最优性剪枝

在搜搜过程中 已经检测到当前答案大于最优解 可以提前退出

5.记忆化搜索(DP)

AcWing165. 小猫爬山

翰翰和达达饲养了N只小猫,这天,小猫们要去爬山。

经历了千辛万苦,小猫们终于爬上了山顶,但是疲倦的它们再也不想徒步走下山了(呜咕>_<)。

翰翰和达达只好花钱让它们坐索道下山。

索道上的缆车最大承重量为W,而N只小猫的重量分别是 C 1 、 C 2 … … C N C_{1}、C_{2}……C_{N} C1C2CN

当然,每辆缆车上的小猫的重量之和不能超过W。

每租用一辆缆车,翰翰和达达就要付1美元,所以他们想知道,最少需要付多少美元才能把这N只小猫都运送下山?

输入格式

第1行:包含两个用空格隔开的整数,N和W。

第2…N+1行:每行一个整数,其中第i+1行的整数表示第i只小猫的重量Ci

输出格式

输出一个整数,表示最少需要多少美元,也就是最少需要多少辆缆车。

数据范围

1 ≤ N ≤ 18 1≤N≤18 1N18
1 ≤ C i ≤ W ≤ 1 0 8 1≤Ci≤W≤10^{8} 1CiW108

剪枝策略

优化搜索顺序 从较重的小猫开始搜索

可行性剪枝 遇到大于当前最优解的 直接return

代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define eps 1e-6
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }


using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, string>PIS;
typedef pair<int, PII>PIII;
const int N = 20;
int w[N], sum[N];
int res = INF;
int n, W;

bool cmp(int a, int b) {
	return a > b;
}

void dfs(int u, int k) {
	if (k >= res)return;
	if (u == n) {
		res = k;
		return;
	}
	bool flag = true;
	for (int i = 0; i < k; ++i) {
		if (sum[i] + w[u] <= W) {
			flag = false;
			sum[i] += w[u];
			dfs(u + 1, k);
			sum[i] -= w[u];
		}
	}
		sum[k] += w[u];
		dfs(u + 1, k + 1);
		sum[k] -= w[u];
}
int main() {
	cin >> n >> W;

	for (int i = 0; i < n; ++i)scanf("%d", &w[i]);

	sort(w, w + n, cmp);
	dfs(0, 0);
	cout << res << endl;
}

AcWing166. 数独

数独是一种传统益智游戏,你需要把一个9 × 9的数独补充完整,使得图中每行、每列、每个3 × 3的九宫格内数字1~9均恰好出现一次。

请编写一个程序填写数独。

输入格式

输入包含多组测试用例。

每个测试用例占一行,包含81个字符,代表数独的81个格内数据(顺序总体由上到下,同行由左到右)。

每个字符都是一个数字(1-9)或一个”.”(表示尚未填充)。

您可以假设输入中的每个谜题都只有一个解决方案。

文件结尾处为包含单词“end”的单行,表示输入结束。

输出格式

每个测试用例,输出一行数据,代表填充完全后的数独。

剪枝策略

位运算

优化搜索顺序 从能填的数较少的位置开始搜 减少每个情况的分支个数

代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define eps 1e-6
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }


using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, string>PIS;
typedef pair<int, PII>PIII;
const int N = 9, M = 1 << N;
int ones[M], maps[M];
int cell[3][3];
int row[N], col[N];
char str[100];

void draw(int x, int y, int t, int is_set) {
	if (is_set)str[x * N + y] = '1' + t;
	else str[x * N + y] = '.';

	int v = 1 << t;
	if (!is_set)v = -v;

	row[x] -= v;
	col[y] -= v;
	cell[x / 3][y / 3] -= v;
}
void init() {
	for (int i = 0; i < N; ++i)row[i] = col[i] = (1 << N) - 1;
	for (int i = 0; i < 3; ++i)
		for (int j = 0; j < 3; ++j)
			cell[i][j] = (1 << N) - 1;
}

int get_(int x, int y) {
	return col[y] & row[x] & cell[x / 3][y / 3];
}
bool dfs(int cnt) {
	if (!cnt)return true;
	
	int minn = 10;
	int x, y;
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			if (str[i * N + j] == '.') {
				int state = get_(i, j);
				if (ones[state] < minn) {
					minn = ones[state];
					x = i, y = j;
				}
			}
		}
	}

	int state = get_(x, y);
	for (int i = state; i; i -= lowbit(i)) {
		int t = maps[lowbit(i)];
		draw(x, y, t, true);
		if (dfs(cnt - 1))return true;
		draw(x, y, t, false);
	}

	return false;
}
int main() {
	for (int i = 0; i < N; ++i)maps[1 << i] = i;
	for (int i = 0; i <1 << N; ++i) {
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			ones[i] += i >> j & 1;
		}
	}
	
	while (cin >> str && str[0] != 'e') {
		init();

		int cnt = 0;
		for (int i = 0, k = 0; i < N; ++i) {
			for (int j = 0; j < N; ++j,++k) {
				if (str[k] != '.') {
					int t = str[k] - '1';
					draw(i, j, t, true);
				}
				else cnt++; 
			}
		}
		dfs(cnt);
		puts(str);
	}
}

AcWing167. 木棒

乔治拿来一组等长的木棒,将它们随机地砍断,使得每一节木棍的长度都不超过50个长度单位。

然后他又想把这些木棍恢复到为裁截前的状态,但忘记了初始时有多少木棒以及木棒的初始长度。

请你设计一个程序,帮助乔治计算木棒的可能最小长度。

每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。

输入格式

输入包含多组数据,每组数据包括两行。

第一行是一个不超过64的整数,表示砍断之后共有多少节木棍。

第二行是截断以后,所得到的各节木棍的长度。

在最后一组数据之后,是一个零。

输出格式

为每组数据,分别输出原始木棒的可能最小长度,每组数据占一行。

数据范围

数据保证每一节木棍的长度均不大于50。

剪枝策略

可行性剪枝:木棒的长度一定是木棍长度总和的因子

优化搜索顺序:按木棍长度从大到小枚举 减少分支

排除等效冗余:①按照组合数方式枚举(木棒内部的木棍顺序无所谓)

② 并且如果当前木棍不能加入到木棒中 那么略过后面所有与之长度相等的木棍

③ 如果是木棒的第一根木棍放入失败 则一定失败

④ 如果当前木棍放在木棒最后一个位置失败了 则一定失败

代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define eps 1e-6
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }


using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, string>PIS;
typedef pair<int, PII>PIII;
const int N = 70;
int n, sum, length;
int w[N];
bool vis[N];

bool cmp(int a, int b) {
	return a > b;
}

bool dfs(int u, int s, int start) {
	if (u * length == sum)return true;
	if (s == length)return dfs(u + 1, 0, 0);

	for (int i = start; i < n; ++i) {
		//可行性剪枝
		if (vis[i])continue;
		if (s + w[i] > length)continue;

		vis[i] = true;
		if (dfs(u, s + w[i], i + 1))return true;
		vis[i] = false;

		//剪枝3.3
		if (!s)return false;

		//剪枝3.4
		if (s + w[i] == length)return false;

		//剪枝3.2
		int j = i;
		while (j < n && w[j] == w[i])++j;
		i = j - 1;


	}

	return false;
}
int main() {
	while (cin >> n, n) {
		length = 1;
		sum = 0;
		memset(vis, false, sizeof vis);
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			scanf("%d", &w[i]);
			sum += w[i];
		}
		sort(w, w + n, cmp);// 优化搜索顺序

		while (1) {
			if (sum % length == 0 && dfs(0, 0, 0)) {
				cout << length << endl;
				break;
			}
			length++;
		}
	}
	return 0;
}

AcWing168. 生日蛋糕

7月17日是 M r . W Mr.W Mr.W的生日, A C M − T H U ACM-THU ACMTHU为此要制作一个体积为 N π N_{π} Nπ的M层生日蛋糕,每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i层蛋糕是半径为 R i R_{i} Ri, 高度为 H i H_{i} Hi的圆柱。

当i < M时,要求 R i R_{i} Ri > R i + 1 R_{i + 1} Ri+1 H i H_{i} Hi > H i + 1 H_{i+1} Hi+1

由于要在蛋糕上抹奶油,为尽可能节约经费,我们希望蛋糕外表面(最下一层的下底面除外)的面积Q最小。

Q = S π Q = S_{π} Q=Sπ ,请编程对给出的N和M,找出蛋糕的制作方案(适当的 R i R_{i} Ri H i H_{i} Hi的值),使S最小。

除Q外,以上所有数据皆为正整数 。

输入格式

输入包含两行,第一行为整数N(N <= 10000),表示待制作的蛋糕的体积为 N π N_{π} Nπ

第二行为整数M(M <= 20),表示蛋糕的层数为M。

输出格式

输出仅一行,是一个正整数S(若无解则S = 0)。

数据范围

1≤N≤10000
1≤M≤20

剪枝策略

优化搜索顺序:从底到上搜索 先占大块的体积 并且对于R和H 先从大到小枚举R 因为 R 2 R^{2} R2是平方级 再从大到小枚举H

可行性剪枝:①:假设当前层数为u 则 u ≤ R ( u ) ≤ R ( u + 1 ) − 1 u \leq R(u) \leq R(u + 1) - 1 uR(u)R(u+1)1 因为每一层的半径严格递减并且为整数

②:假设已用体积为 v v v n − v ≥ R 2 H n - v \geq R^{2}H nvR2H H H H最小为1 则有$ \sqrt{n-v}\geq R$

最终有 u ≤ R ( u ) ≤ m i n ( R ( u + 1 ) − 1 , n − v ) u \leq R(u) \leq min(R(u + 1) - 1,\sqrt{n-v}) uR(u)min(R(u+1)1,nv )

同理有 u ≤ H ( u ) ≤ m i n ( H ( u + 1 ) − 1 , n − v R 2 ) u \leq H(u) \leq min(H(u + 1) - 1,\dfrac{{n-v}}{R^{2}}) uH(u)min(H(u+1)1,R2nv)

③:预处理前u层的体积最小值 m i n v ( u ) minv(u) minv(u)和面积最小值 m i n s ( u ) mins(u) mins(u) 则有

v + m i n v ( u ) ≤ n v + minv(u) \leq n v+minv(u)n s + m i n s ( u ) < a n s s + mins(u) < ans s+mins(u)<ans (最优性剪枝)其中 a n s ans ans为合法方案

④: S i − u = ∑ k = 1 u 2 R k H k = 2 R u + 1 ∑ k = 1 u R k H k R u + 1 > 2 R u + 1 ∑ k = 1 u R k 2 H k S_{i - u} = \sum_{k = 1}^{u}2R_{k}H_{k} = \dfrac{2}{R_{u + 1}} \sum_{k = 1}^{u}R_{k}H_{k}R_{u + 1} > \dfrac{2}{R_{u + 1}} \sum_{k = 1}^{u}R_{k}^{2}H_k Siu=k=1u2RkHk=Ru+12k=1uRkHkRu+1>Ru+12k=1uRk2Hk

n − v = ∑ k = 1 u R k 2 H k n - v = \sum_{k = 1}^{u}R_k^2H_k nv=k=1uRk2Hk

s + S 1 − u ≥ a n s s + S_{1 - u} \geq ans s+S1uans s + 2 ( n − v ) R u + 1 ≥ a n s s + \dfrac{2(n - v)}{R_{u + 1}} \geq ans s+Ru+12(nv)ans时 当前方案不是最优解 直接return

代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define eps 1e-6
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }


using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, string>PIS;
typedef pair<int, PII>PIII;
const int N = 25;
int n, m;
int R[N], H[N];
int minv[N], mins[N];
int ans = INF;
void dfs(int u, int v, int s) {
	if (v + minv[u] > n)return;
	if (s + mins[u] >= ans)return;
	if (s + 2 * (n - v) / R[u + 1] >= ans)return;
	if (!u) {
		if (v == n)ans = s;
		return;
	}

	for (int r = min(R[u + 1] - 1, (int)(sqrt(n - v))); r >= u;--r) {
		for (int h = min(H[u + 1] - 1, (n - v) / r / r); h >= u; --h) {
			int t = 0;
			if (u == m)t = r * r;
			R[u] = r, H[u] = h;
			dfs(u - 1, v + r * r * h, s + 2 * r * h + t);
		}
	}
}
int main() {
	cin >> n >> m;

	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
		mins[i] = mins[i - 1] + 2 + i * i;
	}
	if (minv[m] > n) {
		puts("0");
		return 0;
	}
	R[m + 1] = H[m + 1] = INF;
	dfs(m, 0, 0);

	cout << ans << endl;
}

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