DFS之剪枝
常用的几种剪枝策略
1.优化搜索顺序
大部分情况下 我们应该优先搜索分支较少的节点
例如 分组问题 可以先从花费较大的元素搜索 可以减少状态分支
2.排除等效冗余
如果不考虑顺序的话 尽量用组合的方式搜索 即与组内元素顺序无关
3.可行性剪枝
在搜索过程中已经检测到不合法 可以提前退出
4.最优性剪枝
在搜搜过程中 已经检测到当前答案大于最优解 可以提前退出
5.记忆化搜索(DP)
AcWing165. 小猫爬山
翰翰和达达饲养了N只小猫，这天，小猫们要去爬山。
经历了千辛万苦，小猫们终于爬上了山顶，但是疲倦的它们再也不想徒步走下山了（呜咕>_<）。
翰翰和达达只好花钱让它们坐索道下山。
索道上的缆车最大承重量为W，而N只小猫的重量分别是 C 1 、 C 2 … … C N C_{1}、C_{2}……C_{N} C1、C2……CN
当然，每辆缆车上的小猫的重量之和不能超过W。
每租用一辆缆车，翰翰和达达就要付1美元，所以他们想知道，最少需要付多少美元才能把这N只小猫都运送下山？
输入格式
第1行：包含两个用空格隔开的整数，N和W。
第2…N+1行：每行一个整数，其中第i+1行的整数表示第i只小猫的重量Ci
输出格式
输出一个整数，表示最少需要多少美元，也就是最少需要多少辆缆车。
数据范围
1 ≤ N ≤ 18 1≤N≤18 1≤N≤18
1 ≤ C i ≤ W ≤ 1 0 8 1≤Ci≤W≤10^{8} 1≤Ci≤W≤108
剪枝策略
优化搜索顺序 从较重的小猫开始搜索
可行性剪枝 遇到大于当前最优解的 直接return
代码
#includeAcWing166. 数独
数独是一种传统益智游戏，你需要把一个9 × 9的数独补充完整，使得图中每行、每列、每个3 × 3的九宫格内数字1~9均恰好出现一次。
请编写一个程序填写数独。
输入格式
输入包含多组测试用例。
每个测试用例占一行，包含81个字符，代表数独的81个格内数据（顺序总体由上到下，同行由左到右）。
每个字符都是一个数字（1-9）或一个”.”（表示尚未填充）。
您可以假设输入中的每个谜题都只有一个解决方案。
文件结尾处为包含单词“end”的单行，表示输入结束。
输出格式
每个测试用例，输出一行数据，代表填充完全后的数独。
剪枝策略
位运算
优化搜索顺序 从能填的数较少的位置开始搜 减少每个情况的分支个数
代码
#includeAcWing167. 木棒
乔治拿来一组等长的木棒，将它们随机地砍断，使得每一节木棍的长度都不超过50个长度单位。
然后他又想把这些木棍恢复到为裁截前的状态，但忘记了初始时有多少木棒以及木棒的初始长度。
请你设计一个程序，帮助乔治计算木棒的可能最小长度。
每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。
输入格式
输入包含多组数据，每组数据包括两行。
第一行是一个不超过64的整数，表示砍断之后共有多少节木棍。
第二行是截断以后，所得到的各节木棍的长度。
在最后一组数据之后，是一个零。
输出格式
为每组数据，分别输出原始木棒的可能最小长度，每组数据占一行。
数据范围
数据保证每一节木棍的长度均不大于50。
剪枝策略
可行性剪枝：木棒的长度一定是木棍长度总和的因子
优化搜索顺序：按木棍长度从大到小枚举 减少分支
排除等效冗余：①按照组合数方式枚举（木棒内部的木棍顺序无所谓）
② 并且如果当前木棍不能加入到木棒中 那么略过后面所有与之长度相等的木棍
③ 如果是木棒的第一根木棍放入失败 则一定失败
④ 如果当前木棍放在木棒最后一个位置失败了 则一定失败
代码
#includeAcWing168. 生日蛋糕
7月17日是 M r . W Mr.W Mr.W的生日， A C M − T H U ACM-THU ACM−THU为此要制作一个体积为 N π N_{π} Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i层蛋糕是半径为 R i R_{i} Ri, 高度为 H i H_{i} Hi的圆柱。
当i < M时，要求 R i R_{i} Ri > R i + 1 R_{i + 1} Ri+1且 H i H_{i} Hi > H i + 1 H_{i+1} Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令 Q = S π Q = S_{π} Q=Sπ ，请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的 R i R_{i} Ri和 H i H_{i} Hi的值），使S最小。
除Q外，以上所有数据皆为正整数 。
输入格式
输入包含两行，第一行为整数N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为 N π N_{π} Nπ。
第二行为整数M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。
输出格式
输出仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。
数据范围
1≤N≤10000
1≤M≤20
剪枝策略
优化搜索顺序：从底到上搜索 先占大块的体积 并且对于R和H 先从大到小枚举R 因为 R 2 R^{2} R2是平方级 再从大到小枚举H
可行性剪枝：①：假设当前层数为u 则 u ≤ R ( u ) ≤ R ( u + 1 ) − 1 u \leq R(u) \leq R(u + 1) - 1 u≤R(u)≤R(u+1)−1 因为每一层的半径严格递减并且为整数
②：假设已用体积为 v v v 则 n − v ≥ R 2 H n - v \geq R^{2}H n−v≥R2H H H H最小为1 则有$ \sqrt{n-v}\geq R$
最终有 u ≤ R ( u ) ≤ m i n ( R ( u + 1 ) − 1 , n − v ) u \leq R(u) \leq min(R(u + 1) - 1,\sqrt{n-v}) u≤R(u)≤min(R(u+1)−1,n−v)
同理有 u ≤ H ( u ) ≤ m i n ( H ( u + 1 ) − 1 , n − v R 2 ) u \leq H(u) \leq min(H(u + 1) - 1,\dfrac{{n-v}}{R^{2}}) u≤H(u)≤min(H(u+1)−1,R2n−v)
③：预处理前u层的体积最小值 m i n v ( u ) minv(u) minv(u)和面积最小值 m i n s ( u ) mins(u) mins(u) 则有
v + m i n v ( u ) ≤ n v + minv(u) \leq n v+minv(u)≤n s + m i n s ( u ) < a n s s + mins(u) < ans s+mins(u)<ans (最优性剪枝)其中 a n s ans ans为合法方案
④： S i − u = ∑ k = 1 u 2 R k H k = 2 R u + 1 ∑ k = 1 u R k H k R u + 1 > 2 R u + 1 ∑ k = 1 u R k 2 H k S_{i - u} = \sum_{k = 1}^{u}2R_{k}H_{k} = \dfrac{2}{R_{u + 1}} \sum_{k = 1}^{u}R_{k}H_{k}R_{u + 1} > \dfrac{2}{R_{u + 1}} \sum_{k = 1}^{u}R_{k}^{2}H_k Si−u=∑k=1u2RkHk=Ru+12∑k=1uRkHkRu+1>Ru+12∑k=1uRk2Hk
n − v = ∑ k = 1 u R k 2 H k n - v = \sum_{k = 1}^{u}R_k^2H_k n−v=∑k=1uRk2Hk
s + S 1 − u ≥ a n s s + S_{1 - u} \geq ans s+S1−u≥ans 即 s + 2 ( n − v ) R u + 1 ≥ a n s s + \dfrac{2(n - v)}{R_{u + 1}} \geq ans s+Ru+12(n−v)≥ans时 当前方案不是最优解 直接return
代码
#include