01--背包问题以及构造最优解

1、01–背包问题

01–背包问题：就是有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？一个物品只有装与不装两种选择，不能只放一部分。

样例输入
5 10
6 3 5 4 6
2 2 6 5 4
样例输出
15
11001

1.从最后一个物品填表格

2. 从第一个物品填表格

从最后一个物品填表格

#include
using namespace std;
 
int w[1005];
int v[1005];
int m[105][105];
int main()
{
    int n,c;
    while(~scanf("%d %d",&n,&c))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&v[i]);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&w[j]);
        int min1=min(w[n]-1,c);防止数组越界，物品的重量超过背包的容量了
        for(int i=0;i<=min1;i++)//小于w[n]的填0
            m[n][i]=0;
        for(int j=w[n];j<=c;j++)//大于等于w[n]的填v[n]
            m[n][j]=v[n];
        for(int i=n-1;i>=1;i--)
        {
            int min2=min(w[i]-1,c);//防止数组越界，物品的重量超过背包的容量了
            for(int j=0;j<=min2;j++)
                m[i][j]=m[i+1][j];
            for(int j=w[i];j<=c;j++)
                m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
        printf("%d\n",m[1][c]);
    }
    return 0;
}

2、构造最优解

如果选择从最后一个物品填表格（第一个物品），那么构造最优解的时候就从右上角（右下角）出发，比较i行和i+1行正下方的数字是否相同，不相同则选择了i行的物品,然后再j-w[i]列i行和i+1行数字是否相同；相同则往下一行同一列比较数字是否相同。

#include
using namespace std;
 
int w[1005];
int v[1005];
int m[105][105];
int main()
{
    int n,c;
    while(~scanf("%d %d",&n,&c))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&v[i]);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&w[j]);
        int min1=min(w[n]-1,c);防止数组越界，物品的重量超过背包的容量了
        for(int i=0;i<=min1;i++)//小于w[n]的填0
            m[n][i]=0;
        for(int j=w[n];j<=c;j++)//大于等于w[n]的填v[n]
            m[n][j]=v[n];
        for(int i=n-1;i>=1;i--)
        {
            int min2=min(w[i]-1,c);//防止数组越界，物品的重量超过背包的容量了
            for(int j=0;j<=min2;j++)
                m[i][j]=m[i+1][j];
            for(int j=w[i];j<=c;j++)
                m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
        printf("%d\n",m[1][c]);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            if(m[i][c]==m[i+1][c])//不装
                printf("0");
            else
            {
                printf("1");//装
                c=c-w[i];
            }
        }
        if(m[n][c]>0)//最后一个物品的判断
            printf("1");
        else
            printf("0");
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

3、动态规划法求解01-背包问题的局限性

背包的容量、物品的重量均只能是正整数。因为我们在使用动态规划求解01背包问题的时候，是将背包的容量已经物品的重量作为填表格的列来处理的，我们知道数组的行和列均只能是正整数。