「数据结构」二叉树的构建（C语言）
文章目录
- 前言
- 一、二叉树的基本概念与性质
-
- 基础概念
- 特殊的二叉树
- 性质
- 二、二叉树存储结构与实现
-
- 1. 顺序存储结构
- 2.链表存储结构
-
- 3.代码实现部分：
- 二叉树的层序遍历
- 判断是否为完全二叉树
- 具体函数实现
前言
二叉树是孩子节点数最多只有两个的树，在许多算法中都能看到它，例如：二叉平衡树，AVL树，红黑树等，为了掌握这些算法，必须对二叉树有基本的了解。所以，本文将介绍普通二叉树的构建。
一、二叉树的基本概念与性质
基础概念
在数据结构中， 二叉树是树节点数最多为两个的树结构。而且，二叉树的子节点分为左子树与右子树，其次序不能随意颠倒。
特殊的二叉树
-
- 满二叉树: 如果一个二叉树每一层的结点数都达到最大值，则这棵树就是满二叉树。例如，一颗深度为k，且节点数为2k-1，则它就是满二叉树。
-
- 完全二叉树: 深度为k，有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1 至 n 的节点 一 一对应时，称之为完全二叉树。
性质
- 二叉树在第 i 层上至多有 2i-1 个结点 （ i ≥ \geq ≥ 1 ）。
- 对于
深度为 k的二叉树结点最多为 （ 2k-1 ）。 - 对于任意一颗二叉树，如果其
度为0的结点数为 （ n 0 n_0 n0） ，度为 2 的节点数为 （ n 2 n_2 n2 ） ，则 n 0 = n 2 + 1 \bold{n_0 = n_2 + 1} n0=n2+1 - 具有 n 个节点的完全二叉树的深度为 （ l o g 2 n + 1 log_2n + 1 log2n+1 ）
- 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若 i > 0, i 位置节点的双亲序号：（ i - 1 ）/ 2 ；i = 0， i 为根结点编号，无双亲节点若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1 ； 2i + 1 ≥ \geq ≥ n 否则无左孩子若 2i + 2 < n, 右孩子序号：2i+2 ； 2i+2 ≥ \geq ≥ n 否则无右孩子
二、二叉树存储结构与实现
二叉树的实现能够通过 顺序存储结构 与 链表存储结构 实现。
1. 顺序存储结构
根据二叉树的性质，二叉树的孩子结点分别存储在 2i + 1 与 2i + 2 的空间，但我们不难得知，这种存储方式只适用于完全二叉树，对于普通二叉树，将造成大量的空间浪费。在极端环境下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树（树中不存在度为 2 的结点）却需要长度为2k-1的一维数组。
2.链表存储结构
通过二叉树的定义可知，二叉树的结点由一个数据元素和分别指向其左、右子树的两个分支组成。所以，表示二叉树的域至少要有3个，有时为了方便找到双亲结点还会新增一个指向其双亲结点的指针域，而它们分别被称为二叉链表与三叉链表。
3.代码实现部分：
二叉树的二叉链结构声明与函数声明：
//头文件
#include 二叉树的层序遍历
二叉树的层序遍历就是从左到右依序遍历树，需要一个队列来实现，因为队列的先进先出符合层序遍历的遍历条件，词穷图见 ⇓ \Downarrow ⇓
//二叉树的层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode *root)
{
if(!root)
return;
Que que; //队列的声明与初始化
QueueInit(&que);
QueuePush(&que, root);
while(!QueueEmpty(&que))
{
int sz = QueueSize(&que); //记录当前队列数据量
while(sz--)
{
BTNode* node = QueueFront(&que);
printf("%c ", node->_data);
// 依次入队列左右结点，注意判断是否为空
if(node->_left)
QueuePush(&que, node->_left);
if(node->_right)
QueuePush(&que, node->_right);
QueuePop(&que);
}
}
QueueDestroy(&que);
}
判断是否为完全二叉树
该函数和层序遍历相似，通过队列模拟层序遍历，直到遇到一个NULL指针，然后继续循环出队列，如果遇到非空结点则说明不是完全二叉树。
int BinaryTreeComplete(BTNode *root)
{
Que que;
QueueInit(&que);
QueuePush(&que, root);
while(!QueueEmpty(&que)) //层序遍历
{
if(!QueueFront(&que))
break;
BTNode* node = QueueFront(&que);
QueuePush(&que, node->_left);
QueuePush(&que, root->_right);
QueuePop(&que);
}
while(!QueueEmpty(&que)) //判断是否有非空结点
{
if(QueueFront(&que))
return 0;
QueuePop(&que);
}
QueueDestroy(&que);
return 1;
}
具体函数实现
#include "BTNode.h"
#include "queue.h"
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode *BinaryTreeCreate(BTDataType *a, int n, int *pi) {
if (a[*pi] == '#' || *pi == n) {
(*pi)++
return NULL;
}
BTNode *node = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
node->_data = a[(*pi)++];
node->_left = BinaryTreeCreate(a, n, pi); //建造左右孩子并返回
node->_right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
return node;
}
//二叉树的销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode **root) {
if (*root == NULL)
return;
//通过后序方式销毁
BinaryTreeDestory(&((*root)->_left));
BinaryTreeDestory(&((*root)->_right));
free(*root);
}
int BinaryTreeSize(BTNode *root) {
if (!root)
return 0;
return BinaryTreeSize(root->_left) +
BinaryTreeSize(root->_right) + 1;
}
int BinaryTreeLeafSize(BTNode *root) {
if (!root)
return 0;
if (!root->_left && !root->_right)
return 1;
int left = BinaryTreeLeafSize(root->_left);
int right = BinaryTreeLeafSize(root->_right);
return left + right;
}
//寻找值为x的结点
BTNode *BinaryTreeFind(BTNode *root, BTDataType x) {
if (!root)
return NULL;
if (root->_data == x)
return root;
BTNode *left = BinaryTreeFind(root->_left, x);
BTNode *right = BinaryTreeFind(root->_right, x);
// 如果left 和 right指针不为空，则说明找到了目标
if (left)
return left;
if (right)
return right;
return NULL;
}
//第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode *root, int k) {
if (!root)
return 0;
if (k == 1) //k == 1
return 1;
return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) +
BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
}
//前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode *root) {
if (!root) {
return;
}
printf("%c->", root->_data);
BinaryTreePrevOrder(root->_left);
BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
//中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode *root) {
if (!root)
{
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->_left);
printf("%c->", root->_data);
BinaryTreeInOrder(root->_right);
}
// 后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode *root)
{
if(!root)
{
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->_left);
BinaryTreePostOrder(root->_right);
printf("%c->", root->_data);
}
//二叉树的层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode *root)
{
if(!root)
return;
Que que;
QueueInit(&que);
QueuePush(&que, root);
while(!QueueEmpty(&que))
{
int sz = QueueSize(&que);
while(sz--)
{
BTNode* node = QueueFront(&que);
printf("%c ", node->_data);
if(node->_left)
QueuePush(&que, node->_left);
if(node->_right)
QueuePush(&que, node->_right);
QueuePop(&que);
}
}
QueueDestroy(&que);
}
int BinaryTreeComplete(BTNode *root)
{
Que que;
QueueInit(&que);
QueuePush(&que, root);
while(!QueueEmpty(&que)) //层序遍历
{
if(!QueueFront(&que))
break;
BTNode* node = QueueFront(&que);
QueuePush(&que, node->_left);
QueuePush(&que, root->_right);
QueuePop(&que);
}
while(!QueueEmpty(&que))
{
if(QueueFront(&que) //遇到非空结点证明不是完全二叉树
return 0;
QueuePop(&que);
}
return 1;
}