【背包dp】01背包、完全背包、多重背包总结

一、01背包

请参考洛谷p1048采药

1.二维dp

二维dp

有 5 个药，花费时间分别是 [2,2,6,5,4]，价值分别是 [6,3,5,4,6]，时间限制为 10

状态转移方程

  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);

二重循环

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = t; j >= w[i]; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
        }   
    }

此时的 j 从t到w[i] 或者从w[i]到t ,都是一样的，从表中可以看出
j的遍历顺序没有影响

2.一维dp

为了减小空间采用一维数组

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = t; j >= w[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }   
    }

去掉dp中的[i]项，为了保证 dp[j] dp[j - w[i]] 都是i - 1上一项的，j 的循环顺序要从t到w[j]

3.记忆化搜索

较为简单，略

二、完全背包

每种药可以采无限次

1.二维dp

状态转移方程

01背包
  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
完全背包
  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);

此时，取第i个药时还能再取第i个药，因此没有退回i-1
01背包中，不能再次取第i个，所以一定要退回i-1
二重循环

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = w[j]; j <= t; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
        }   
    }

此时j的遍历顺序只有一种，计算 dp[i][j] 时，要保证 dp[i][j - w[i]] 已经计算好，所以j必须从左到右遍历

2.一维dp

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = w[j]; j <= t; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }   
    }

还是从左到右遍历，保证计算 dp[i][j] 时，dp[j] 是 i - 1 的，dp[j - w[i]] 是 i 的

3.其他

完全背包还有其他方法，略去（转换成01背包)

三、多重背包

每种药有一个采摘上限（01背包就是每种药都是1，完全背包这个上限是无穷大）

1.转化成01背包

略

2.其他

略