伪距单点定位算法原理以及利用最小二乘法计算实例

目录

1.伪距单点定位原理

2.最小二乘法介绍

 3.利用最小二乘法进行伪距单点定位的实例

利用最小二乘法的定位解算可以分解为以下几个步骤：

（1）设置初始值

（2）准备数据

（3）非线性方程线性化

（4）求解线性方程

（5）更新非线性方程的解

（6）判断牛顿迭代的收敛

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1.伪距单点定位原理

由伪距观测量建立的定位方程为：

每个伪距测量方程都是关于用户位置的非线性函数，不能通过直接解方程求得用户位置。

因此要对观测方程进行线性化：

b是接收机钟差，B是卫星钟差，左边是要求的4个参数：三个坐标改正数、一个接收机钟差

 l：常数项、自由项，如下图所示：

将之前的式子改写为：

写成矩阵形式：

X是待定系数矢量，也就是我们要求的参数量，包括：接收机位置改正数和接收机钟差。

问：为什么要求接收机钟差？

答：只有求出接收机钟差，接收机位置改正数才能求出来，两者的求解不可分离。

在观测方程的求解中，需要估计接收机的位置和钟差，因为接收机的时钟差异会对测量结果产生影响。接收机对卫星信号的接收时间是基于接收机自身的时钟来计算的，如果接收机的时钟有偏差，那么计算得到的接收时间也会有误差。

通过估计接收机的钟差，可以对接收机接收时间进行校正，从而提高位置估计的准确性。

A为系数矩阵，方向余弦矩阵，可以根据已知参数求解出来。

L是自由项矢量，包含观测量(伪距观测值)、根据接收机概略位置和卫星位置计算的星站距离，以及卫星钟差、电离层误差、对流层误差等各种可以通过模型解算出来的误差，所有项合起来就可以组成自由项或者称为常量项。

V为残差向量，也就是测量噪声和其他未建模因素引起的误差。

显然只有当 n ≥ 4 时，方程才可能有解。下面根据观测到的可见卫星数分两种情况进行说明：

问：为什么当观测的可见卫星数 n=4 时，此时要忽略掉观测随机误差?

答：当观测卫星数较少时，这些随机误差会对位置估计的准确性产生较大的影响。因此，在观测卫星数较少时，通常会忽略掉这些随机误差，以避免对位置估计结果造成过大的不确定性。

2.最小二乘法介绍

即该公式：

建立下列代价函数

满足最佳估值的条件为：

即：

可解得未知参数 X 的最佳估值：

由于每个可见卫星观测量的精度可能不一样，这时，需要对不同观测量赋予一个权重系数，称为加权。

由下图可以得到观测值加权后未知参数 X 的最优估值为：

 3.利用最小二乘法进行伪距单点定位的实例

下面通过一个例子，说明伪距定位算法及其解算步骤。

利用最小二乘法的定位解算可以分解为以下几个步骤：

（1）设置初始值

最简单、最理想的一种情况：

然而，如果接收机在此刻的前一段时间内尚未实现定位，那么此刻对接收机来说是首次定位。对于首次定位，钟差初始值一般可设置为 0，而接收机坐标初始值的估算可分为以下几种情况。

（2）准备数据

（3）非线性方程线性化

k-1是当前历元已完成的迭代次数

L又称为自由项或者常数项，由原始伪距观测值、（卫星钟差、电离层延迟、对流层延迟等）可通过模型计算出来的误差改正项、接收机概略位置与卫星空间位置之间的距离所组成。

A称为雅可比矩阵或者几何矩阵，只与各颗卫星相对于用户接收机的几何位置有关。

接收机初始概略位置是设置为0的，即xyz均等于0

接收机钟差初始值也设置为0

（4）求解线性方程

（5）更新非线性方程的解

问：钟差这里是怎么由钟差修正量（单位：m）转变为钟差（单位：s）的？

答：

光速 c 的值为299792458 米/秒（m/s）

钟差 = 钟差修正量 / 光速

（6）判断牛顿迭代的收敛