在日常生活中,你能很容易地确定物体的速度和相对位置,比如高速摄像机能够确切地确定你超速的位置和速度,并能将罚单准确地寄到你手里。
但如果你是量子世界中的一个粒子,交警就不太容易给你寄超速罚单了,因为他们如果想确定你的速度,就无法精确地定位你的位置;如果想精确定位你的位置,就无法精确确定你的速度。
这就是量子世界中所谓的海森堡不确定性原理,在量子世界中广泛成立,是粒子波动性的一种本质体现。
比如水中的涟漪,也即是水波。如果想精确测定水波的波速,你最好测定让更多的波峰和波谷通过你的测量点,通过的波峰和波谷越多,波速测量得就越准确;但是波的位置就越含糊,——通过了那么多的波峰和波谷,到底哪个位置算是波的位置?
相反,如果你仅测量某一个固定的波峰,那么就很容易确定它的位置。但是因为缺乏其他波峰或波谷的信息,就难以确定它的确切的速度。
简而言之:不确定性原理描述了两个互补属性之间的权衡,例如速度和位置。
对于两个物理量,其Hermitian算子分别用表示,它们的对易子(commutator)为。比如粒子的位置和动量的算子,,这里算子,也即是对后面的波函数简单乘上系数ℏ。
根据量子力学的公设,我们可以证明两个物理量测量误差的积(标准偏差)大于或等于,其中为的平均值。
这就是Heisenberg不确定性原理。
Heisenberg没有对上述结论提供任何证明,只是用电子与电磁波的相互作用的思想实验来说明了一下。这个思想实验又称为Heisenberg显微镜。
下面我们用严格的数学方法证明海森堡不确定性原理。
物理量的测量方差为其标准偏差的平方,即:
(1)
其中表示物理量的测量平均值,将上述表达式展开后可得:
即
(2)
算子和的标准偏差算子记作和,你可以看出。我们知道对于物理量,它的大小可表示为,所以
上面用到了Hermitian算子的性质。根据Schwarz不等式,有
因为
所以
这就意味着
即
(3)
考虑到,所以有
(4)
这分两种情况:
(a),意味着算子对易,则,即两个物理量的测量误差可以任意小,也即是它们可以同时被精确地测量出来。
(b)在物理量为位置和动量的情况下,,也即是。
也即是说你不能同时确切地确定粒子的位置和动量两个物理量。因为当你想尽量提高粒子位置测量精度的时候,粒子的动量测量值的测量偏差就会增大,同样当你想提高动量的测量精度时,位置的测量偏差也会增大,如图1所示。海德堡不确定性原理是粒子波动性的一种自然属性,当首次估算系统大小时,就能看出它的作用。
案例1:H原子系统的大小的估算
假设原子核静止不同,电子绕核旋转。我们知道电子必须要遵守海森堡不确定性原理的,也即是,在最紧凑的情况下,。我们可以将这里的作为氢原子的半径,其中,所以,或者。假设粒子的总能量为动能和势能之和:。能量的最小值通过求取,即。
反过来可求得氢原子的半径,其中,为氢原子的玻尔第一轨道半径。由此可见,仅根据海森堡不确定性原理估算的氢原子的半径与在同一个数量级上。
根据海森堡不确定性原理,当、也即是电子坍缩到原子核上时,系统的能量达到了,即系统向外释放无穷大的能量,这对宇宙来讲无疑是一场灾难。
另外海森堡不确定性原理用于估算物质的质量密度时,也能得到正确的数量级。
那么现在的问题是:电子能坍缩到原子核上吗?如果能的话,是不是通过这种方式就可以消灭整个宇宙?
案例2:原子核大小的估算
一个原子核有多大?根据海森堡不确定性原理,我们仅需知道一个参数就可以将其估算出来,——核子的结合能:数量级为8 MeV。 现在进入一个由核力掌控的世界,任何问题看起来都相当复杂。忽略复杂的核子作用力,假设一个核子在一个平均势能的空间内运动,核子的结合能为 8 MeV,所以我们可以假设原子核动能的数量级差不多也是这么多,即 MeV。根据动能与动量的关系,我们有(这里假设整个核子静止不懂,平均动量为0),由此可以计算得到。根据海森堡不确定性原理,在最紧凑的情况下,核子的半径。采用原子单位制(,其中,为电子的质量),计算可得 a.u. cm。比氢原子的半径大概小100,0000倍。实验结果验证了我们的计算结果:原子核大小就是这么一搞数量级!