【数学基础知识】证明三角形的三条垂线交于一点

定理

三角形的三条垂线交于一点。

证明过程

已知：$△ABC$中，$AD\perp BC,BE\perp AC,CF\perp AB$。

求证：$AD,BE,CF$ 交于一点。

证明：过点A，B，C作直线分别平行于BC，AC，AB。三条平行直线分别交于点M，N，P，如上图所示。

易知四边形AMBC为平行四边形。

$$\therefore AM=BC\text{\hspace{1em}(1)}$$,

同理四边形ANCB也为平行四边形，

$$\therefore BC=AN\text{\hspace{1em}(2)}$$

综合(1)式和(2)式可得

$$\therefore AM=AN\text{\hspace{1em}(3)}$$

又$\because AD\perp BC,MN//BC,\therefore$

$$\therefore AD\perp MN\text{\hspace{1em}(4)}$$

综合(3)式和(4)式可得AD垂直平分MN。

同理可证BE垂直平分MP，CF垂直平分PN。

即AD，BE，CF分别为$△MNP$的中垂线，$\therefore 三者交于一点$。

证毕。