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线性代数概念小结-面试

一、行列式（表示一个数）

1、余子式 M_{ij}(n-1阶),奇异矩阵D=0

2、按照行/列展开 

3、范德蒙德行列式 D=\begin{vmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x1& x2& \cdots &x3 \\ x_{1}^{2}& x_{2}^{2}& \cdots &x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots& \ddots &\vdots \\ x_{1}^{n-1}& x_{2}^{n-1}& \cdots &x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}= \prod_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left ( x_{j}-x_{i} \right )

二、矩阵及其运算

1、，矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积

2、，

3、克拉默法则：求解线性方程组的唯一解（行列式与解的关系）

 零解，非零解 

三、矩阵初等变换与线性方程组

1、秩:最高阶非零子式

2、秩的性质：

3、秩与方程组

，无解

，唯一解

，无穷解

四、向量组线性相关性

1、能够线性表示 \Leftrightarrow 方程组有解 \Leftrightarrow 秩为零

2、线性相关

向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个线性表示\Leftrightarrow

齐次线性方程组有非零解\Leftrightarrow

秩R(A)<m个向量

3、最大无关组 

向量最大无关组一般不唯一

4、线性方程组

（1）齐次  基础解系：解集的最大无关组，n元方程组中，包含个

（2）非齐次  加特解

5、向量空间 

基--线性无关

维数--r

坐标--基表示前的系数

6、过渡矩阵

五、相似矩阵及二次型

1、向量：内积为零表示向量正交

2、施密特变换：普通向量组经过正交化、单位化变为标准正交基

3、正交矩阵：

4、方阵

Ax=\lambda x

求特征值\lambda，的根为\lambda

求特征方程x，的非零解

A的n个特征值互不相等\RightarrowA可对角化\LeftrightarrowA有n个线性无关的特征向量

5、相似矩阵  

存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B

6、对称矩阵必有n个线性无关特征向量，必存在正交矩阵P，使得

7、配方法化二次型为标准型

二次型：含有n个变量的二次齐次函数，矩阵表示，A为对称矩阵

标准型只含有平方项，规范性系数只在1，-1，0中选择

合同：可逆矩阵C，使得，常用于使对称矩阵A合同对角化

正定二次型

六、线性空间与线性变换

验证线性空间： 加、乘、封闭、八条运算规律

同构：两线性空间元素一一对应，保持线性组合对应

基变换公式或

线性变换T在基下的矩阵A，

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                  这篇内容其实没有经过太多的深思熟虑，只是个人一时的感觉。从个人风格上来讲，我倾向简单质朴的设计开发理念；从方法论上，我更加倾向自顶向下的设计；从做事情的目标上来看，我追求质量优先，更愿意使用较为保守和稳妥的理念和方法。    &
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