代码随想录算法训练营 | day56 动态规划 583.两个字符串的删除操作，72.编辑距离
刷题
583.两个字符串的删除操作
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题目：给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
示例：
-
输入: "sea", "eat"
-
输出: 2
-
解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"
思路及实现
这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] [j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。
2.确定递推公式
-
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
-
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1] [j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i] [j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1] [j - 1] + 2
那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i] [j] = min({dp[i - 1] [j - 1] + 2, dp[i - 1] [j] + 1, dp[i] [j - 1] + 1});
因为 dp[i] [j - 1] + 1 = dp[i - 1] [j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i] [j] = min(dp[i - 1] [j] + 1, dp[i] [j - 1] + 1);
这里可能不少录友有点迷糊，从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i] [j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i] [j-1] + 1。
3.dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i] [0] 和 dp[0] [j]是一定要初始化的。
dp[i] [0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i] [0] = i。
4.确定遍历顺序
从递推公式 dp[i] [j] = min(dp[i - 1] [j - 1] + 2, min(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]) + 1); 和dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1]可以看出dp[i] [j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i] [j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
5.举例推导dp数组
以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：
以上分析完毕，代码如下：
// dp数组中存储word1和word2最长相同子序列的长度
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
for (int i = 1; i <= len1; i++) {
for (int j = 1; j <= len2; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return len1 + len2 - dp[len1][len2] * 2;
}
}
// dp数组中存储需要删除的字符个数
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {
for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,
Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
}
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
}
72.编辑距离
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题目：给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
-
插入一个字符
-
删除一个字符
-
替换一个字符
-
示例 1：
-
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
-
输出：3
-
解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')
-
示例 2：
-
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
-
输出：5
-
解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')
提示：
-
0 <= word1.length, word2.length <= 500
-
word1 和 word2 由小写英文字母组成
思路及实现
编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。
编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。
接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [j]。
有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？
为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组中做了详细的讲解。
其实用i来表示也可以！ 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。
2. 确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 不操作 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 增 删 换
也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])` 那么说明不用任何编辑，`dp[i][j]` 就应该是 `dp[i - 1][j - 1]`，即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？
那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。
在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i] [j]的定义！
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
-
操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
-
操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
a a d +-----+-----+ +-----+-----+-----+ | 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 | +-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+ a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 | +-----+-----+ +-----+-----+-----+ d | 2 | 1 | +-----+-----+
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。
那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
递归公式代码如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
3. dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i] [j]的定义：
dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [j]。
那么dp[i] [0] 和 dp[0] [j] 表示什么呢？
dp[i] [0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [0]。
那么dp[i] [0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i] [0] = i;
同理dp[0] [j] = j;
4.确定遍历顺序
从如下四个递推公式：
-
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] -
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 -
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1 -
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i] [j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
5. 举例推导dp数组
以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
以上动规五部分析完毕，代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length();
int n = word2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 因为dp数组有效位从1开始
// 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}