三棱柱：2013年理数全国卷B题18

三棱柱：2013年理数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点，

（I）证明∶//平面 ;

（Ⅱ）求二面角 的正弦值.

2013年理数全国卷B

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【解答问题I】

连接 , 记 的交点为 .

连接 .

∵ 是直三棱柱,

∴ 是矩形，∴ 是 的中点；

∵ 是 中点， 是 中点，

∴ 是 的中位线，

∵ , 平面 ,

∴ //平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ：准备工作】

∵ 是直三棱柱 ,

,

∴ 是正方形， 是等腰直角三角形；

令 ，则

以点 为原点，并以 为 轴，建立坐标系. 则各点坐标如下：

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【解答问题Ⅱ：算法一】

设平面 的法向量为 ，则

设平面 的法向量为 ，则

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【解答问题Ⅱ：算法二】

平面 的法向量

平面 的法向量为

结论：求二面角 的正弦值等于 .

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【提炼与提高】

本题第1问与文科卷相同，求解的关键是中位线定理.

本题第2问，用几何方法比较难搞；适合用向量方法解决。

很多学生在使用向量方法解答立体几何的过程中会遇到一个苦恼：很容易出现计算错误，在考试状态下要想自己查出这类错误是比较困难的. 笔者在此推荐一种新的算法：用向量的外积（又称叉乘）运算来求法向量。两种算法是等效的。在考试过程中，可以分别用两种方法计算，再比较计算结果.

一般来讲，比起单纯地检查计算过程，用一种不同的算法来进行验算，效率会更高.

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