bootstrap基础
（一）bootstrap初识
bootstrap由美国数学家Efron于20世界70年代创建。
bootstrap方法用于样本数较少时的数学统计和参数估计。其数学原理基于经验分布下的格里汶科定理。
经验分布函数：
设 X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n X_1,X_2,X_3,...,X_n X1,X2,X3,...,Xn是总体F的一个样本，用S(x), − ∞ < x < + ∞ -\infty < x < +\infty −∞<x<+∞表示 X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n X_1,X_2,X_3,...,X_n X1,X2,X3,...,Xn中不大于x的随机变量的个数，则经验分布函数为：
F n ( x ) = 1 n S ( x ) , − ∞ < x < + ∞ F_n(x)=\frac{1}{n}S(x), -\infty < x < +\infty Fn(x)=n1S(x),−∞<x<+∞
注意：
机器学习关于“评估方法”一节中多处提到的“自助法”即bootstrap抽样统计。
自助法的算法流程：
- 假设样本个数为m, 自助法(放回抽样)中，所有m个样本, 每一个样本都有一定几率未被抽中，概率为 ( 1 − 1 m ) (1-\frac{1}{m}) (1−m1)，所有样本始终未被抽中的总体概率为：
lim m → + ∞ ( 1 − 1 m ) m = lim m → + ∞ ( 1 − 1 m ) − m ( − 1 ) = 1 e ≈ 0.368 \lim_{m \to +\infty}(1-\frac{1}{m})^m = \lim_{m \to +\infty}(1-\frac{1}{m})^{-m(-1)} = \frac{1}{e} \approx 0.368 m→+∞lim(1−m1)m=m→+∞lim(1−m1)−m(−1)=e1≈0.368 - 抽样统计结束后，将所有始终未被抽中的样本抽取出来组成另外一个集合，当作验证集。而上述所有被抽中的样本当作测试集。此种方法又叫作“包外估计”。
格里汶科（ G l i v e n k o ）定理： \color{red}格里汶科（Glivenko）定理： 格里汶科（Glivenko）定理：
对于任意实数x当 n → ∞ n \to \infty n→∞时 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)以概率1一致收敛于分布F(x),即：
P { lim n → ∞ sup − ∞ < x < ∞ ∣ F n ( x ) − F ( x ) ∣ = 0 } = 1 P \{ \lim_{ n \to \infty} \quad \sup_{-\infty < x < \infty} | F_n(x) - F(x)| = 0\} = 1 P{n→∞lim−∞<x<∞sup∣Fn(x)−F(x)∣=0}=1
该定理的含义是： \color{red}该定理的含义是： 该定理的含义是：
对于任意实数x当n充分大时，经验分布函数的任一观察值 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)与总体分布函数F(x)只有微小的差别，在实际上可以当多F(x)来使用。
证明：
对于任意x， − ∞ < x < ∞ , S ( x ) ∼ b ( n , F ( x ) ) -\infty < x < \infty,S(x) \sim b(n,F(x)) −∞<x<∞,S(x)∼b(n,F(x)),从而可知对于任意x有：
E ( F n ( x ) ) = E ( S ( x ) n ) = 1 n E ( S ( x ) ) = 1 n E ( n F ( x ) ) = F ( x ) E(F_n(x)) = E(\frac{S(x)}{n}) = \frac{1}{n}E(S(x)) = \frac{1}{n}E(n F(x)) = F(x) E(Fn(x))=E(nS(x))=n1E(S(x))=n1E(nF(x))=F(x)
在实践中，bootstrap统计数据有效的前提是n足够大，一般情况下，n要大于1000（当然越大越好），因此bootstrap特别适合使用计算机来计算（假设n为 1 0 8 10^8 108，如果用人工统计那还不得累死！）。
另外，bootstrap方法还需要依赖于随即数表。已知n的前提下，随即数表的生成方式如下所述：
- 生成n个 x ∈ [ 0 ∼ 1 n ] x \in [0 \sim \frac{1}{n}] x∈[0∼n1]的随机数。
- x = n × x + 1 ， ( 若下标为 0 则不加 1 ，否则加 1 ) x = n \times x + 1，\color{red} (若下标为0则不加1，否则加1) x=n×x+1，(若下标为0则不加1，否则加1)
上述x就是所求的随机数值。
可参考如下c语言版随机数生成方法：https://editor.csdn.net/md/?articleId=130525806
以下知识来自于浙江大学版的《概率论与数理统计》一书第10章"Bootstrap方法"。
（二）估计量的标准误差的bootstrap估计
暂且为空
（三）估计量的均方误差的bootstrap估计
暂且为空
（三）估计量的偏差的bootstrap估计
暂且为空
偏差的定义：
设 X 是来自于总体 F 的样本， θ ^ 是参数 θ 的估计量。 θ 的估计 θ ^ 关于 θ 的偏差定义为： b = E ( θ ^ − θ ) = E ( θ ^ ) − θ \color{red}设X是来自于总体F的样本，\hat \theta是参数\theta的估计量。\theta的估计\hat \theta关于\theta的偏差定义为 ：\\ \\ b =E(\hat \theta - \theta) = E(\hat \theta) - \theta 设X是来自于总体F的样本，θ^是参数θ的估计量。θ的估计θ^关于θ的偏差定义为：b=E(θ^−θ)=E(θ^)−θ