代码随想录算法训练营第45天 | 爬楼梯（进阶） 322.零钱兑换 279.完全平方数

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动态规划篇 —— 完全背包

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爬楼梯（进阶 完全背包）

本题稍加改动就是一道面试好题。

改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！这道题就和那个377.组和总和是一样的

1.dp[j]: 爬到有j个台阶的楼顶，有多少种方法
2.状态转移： dp[j] += dp[j-i] 当前在j阶楼梯上可能是 由于 dp[j-1], dp[j-2] … dp[j-i]转移过来
3.base case: dp[0] = 1
4.遍历顺序和解的位置
求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。都是正序遍历
解的位置就是dp[target]

def climbstairs(n):
	dp = [0] * (n+1)
	dp[0] = 1
	for j in range(1, n+1):  #遍历容积，n阶台阶
		for i in range(1, m+1):  #遍历物品， m表示最多能爬几阶
			if j >= i: dp[j] += dp[j-i]
	return dp[n]

这就是完全背包，求所有排列有多少种的一个解法

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

322.零钱兑换

题目链接
首先每种硬币是无限的，依然是经典的完全背包

题目要求，希望硬币数量最小，去凑出target

那么1.状态定义： dp[j] 就是凑足总额为j所需钱币的最少个数

2.状态转移
还是完全背包的套路，不选coins[i], 选coins[i], 只不过两者要选一个小的
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)

3 base case
首先，凑足总金额为0所需钱币的个数 dp[0]肯定是0
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4.遍历顺序以及解的位置
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果是求完全背包中组合的个数的话，先遍历物品
如果是求完全背包中排列的个数的话，先遍历体积
这道题不是求排列 那么我就习惯先遍历物品
最后解的位置还是在dp[amount]

def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [10001] * (amount+1)
        dp[0] = 0
        for i in coins:
            for j in range(i, amount+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-i]+1)
        if dp[amount] == 10001: return -1
        return dp[amount]

279.完全平方数

题目链接

这道题和上道题基本是一模一样的，只是要搞明白谁是物品，谁是容积
首先，物品是那些 11 22 3*3 …这些平方数，背包容积则是n
我们dp[j]是用这些平方数填背包所用的最小数量

我们物品从1开始，物品的平方不能超过背包容积吧，结束位置就是这个位置
其余的和322零钱兑换一模一样，这俩题放在一起学习

def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [10001] * (n+1)
        dp[0] = 0
        for i in range(1, math.floor(math.sqrt(n))+1):
            for j in range(i*i, n+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
        return dp[n]