【贪心】最优装载问题Python实现

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系列专栏：贪心算法

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问题描述

• 有一批集装箱要装上一艘载重量为$c$的轮船，其中集装箱$i$的重量为$w_i$
• 在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船

形式化描述

$$\{\begin{array}{l}\max \sum _{i=1}^n{x}_i\\ \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c\end{array}{x}_i\in \{0,1\},1\le i\le n$$

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贪心算法

• 采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解

贪心选择性质

• 设集装箱已依其重量从小到大排序，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是最优装载问题的一个最优解，设$k=\underset{1\le i\le n}{\min }\{i\mid x_i=1\}$，如果给定的最优装载问题有解，则$1\le k\le n$
  • 当$k=1$时，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是一个满足贪心选择性质的最优解
  • 当$k>1$时，取$y_1=1$，$y_k=0$，$y_i=x_i$，$1<j\le n$，$i\ne k$，则$\sum _{i=1}^n{w}_i{y}_i=w_1-w_k+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c$，因此，$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$是所给最优装载问题的可行解
• 由$\sum _{i=1}^n{y}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i$知，$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$是满足贪心选择性质的最优解，所以，最优装载问题具有贪心选择性质

最优子结构性质

• 设$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是最优装载问题的满足贪心选择性质的最优解，则$x_1=1$，$(x_2,x_3,\cdots ,x_n)$是轮船载重量为$c-w_1$、待装船集装箱为$\{2,3,\cdots ,n\}$时相应最优装载问题的最优解，也就是说，最优装载问题具有最优子结构性质

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时间复杂性

• 算法的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，所以算法所需的计算时间为$O(n\log n)$

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Python实现

def load_ship(containers, capacity):
    # 将集装箱组织成 (索引, 重量) 二元组形式
    containers = list(enumerate(containers))

    # 按照集装箱的重量进行排序
    containers.sort(key=lambda x: x[1])

    # 记录已经装载的集装箱索引
    loaded_containers = []
    # 记录当前已经装载的总重量
    current_weight = 0

    # 遍历每个集装箱
    for index, weight in containers:
        # 如果当前集装箱的重量加上已经装载的总重量不超过轮船的载重量, 则将集装箱装上轮船
        if current_weight + weight <= capacity:
            current_weight += weight

            loaded_containers.append(index)
        else:
            # 如果无法装载当前集装箱, 则退出循环
            break

    loaded_containers.sort()

    return loaded_containers


containers = [3, 5, 2, 7, 4, 1]
capacity = 10

res = load_ship(containers, capacity)

print(f'装载的集装箱索引: {res}')

装载的集装箱索引: [0, 2, 4, 5]

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