学号：17020120039 姓名：韦涛 转载自：https://blog.csdn.net/qq_37335890/article/details/85040277 请求和清风明月 《离散傅里叶变换DFT与FFT，MATLAB的FFT函数使用（原创）——如何使用fft（）绘制出真正的频谱图像》
以前一直对MATLAB中fft（）函数的使用一直存在疑惑，为什么要加一
些参数，并且如何确定这些参数，也查了许多资料，但很多都感觉只是
表面一说根本没有讲清其本质。但随着学习的推进，慢慢有所领悟，所
以打算把自己的一些所懂分享下，有什么问题也希望大家指正。
本文主要先对DFT、FFT的一些概念进行介绍，然后通过MATLAB仿真
进行fft（）分析，从而解释上述参数
一、DFT与FFT
首先是对DFT与FFT的一些概念上的介绍，其实FFT与DFT是等价的，他们实现的功能是一样的，只是FFT是DFT的算法优化，因为毕竟要用电脑来计算，DFT算的太慢了，就优化下也就成了FFT。所以此处我们对DFT与FFT的介绍是等价的。
那么我们就来介绍DFT，它也被叫做离散傅里叶变换，其实它就是DFS离散傅里叶级数的时域频域主值序列，或者也是DTFT离散时间傅里叶变换的频域采样。至于DFS与DTFT相信大家也是明白，那么很多人好奇为什么还要DFT这玩意，主要呢，还是因为计算机，因为计算机不可能处理无限长的信号而DFS和DTFT要么时域无限长，要么频域无限长，所以就搞了个DFT。
好的，那么我们就来直接看公式（这里我就假想大家都对其来源及原因都清楚了）：
注意看上图，这就是我们接下来的所有依据，X（k）是正变换，x（n）反变换，此处务必注意x（n）那个式子有个1/N，这对后面的理解很关键。
好的那么接下来我们就可以利用MATLAB来进行分析了。
二、MATLAB的FFT函数使用
首先说明下什么情况下我们要用FFT，这是很简单的，但还是要说说：因为现实世界都是连续的信号，相信我们要分析它时单纯靠我们人算是很麻烦的，所有这些都是需要计算机进行计算，那么答案就有了，我们其实都是处理连续信号，也就是说我们都是想要FFT来分析连续信号。
OK
1、那么这样FFT第一个步骤就出现了，那就是A/D转换，也就是对连续信号采样。而这里我们就要确定一个参数采样频率Fs，说到采样，大家肯定会想到采样定理，其内容就是当对信号进行以采样频率为Fs>=2fc的采样时，信息不急丢失（fc为原始连续信号的最大截止频率），那么这样第一个参数Fs就这样确定了，其应该满足Fs>=2fc，这时采样周期为Ts=1/Fs。
2、既然确定了采样频率Fs，那么我们就要想信号的时域应该怎么确定，换句话说，我们将采样好的信号给计算机处理时，应该给计算机多少个。这里就出现了第二个参数即序列个数L，好的，在这里由于第一个参数确定的Fs，相应的也是采样周期Ts，所以我们就可以得出时域信号的横坐标时间的变化范围，也就是
t=（0：L-1）Ts
那么这里就确定了N吗？不，我们这里还没确定，对于L的确立我们需要上面这个语句的帮助。那么究竟怎么确定呢，这里我们就要想到DFT的来源了：为什么DFT可以用来进行表示信号的频谱响应，因为其时域频域都是信号的相应时域频域的主值区间，所以说我们要用DTF可以表示这个信号时，应尽可能的包含这个信号的一个周期或整数倍周期也就是上述t的范围应该是信号的一个周期范围或整数倍周期范围，否则则会发生频谱泄露，至于频谱泄露其实就是出现了本来没有的频率分量。比如说，10Hz的cos（2π10t），本来只有一种频率分量f=10Hz，但分析结果却包含了与10Hz频率相近的其它频率分量。下述将会进行仿真分析。所以说此处L的确定应是LxTs=mT（T为信号的最小周期，m为正整数），常常m=1。那么或许有人问怎么平常我看到的都不是这样，L都是取和Fs一样的值（注意为了频率分辨率为1Hz，下文会讨论）。其实对于这个也有它的道理，不妨我们推到下：
LxTs=L/Fs=1，也就是说其表达的时域t范围为1，那么平常我们的信号最小周期一般都小于1的，要是当信号最小周期大于1时其就是错误的啦，所以这个只是对大部分来说是有用的。
那么说了这么多究竟怎么确定，要是按LxTs=mT确定会不会太麻烦，确实有时我们真的不能知道确定的信号最小周期，所以这里就放宽点，只要保证LxTs>=T
就可以，当然如果可以取整数倍就最好了。
OK
可是上面说又会发生频率泄露，这可怎么办？那么这里就只能尽可能提高N-DFT的N点啦，这样能使尽可能更多的能量落到正确的频率点上，也就是说这样误差会更小，这样就能达到我们的目的。
3、于是第三个参数N-DFT的N就出现了，根据上述2情况，我们知道N的提高有利于提高精确的，那么它还有其它约束吗？答案肯定有的，这里就需要些理论知识了：
先来了解下频域采样定理：频域以N点为采样周期的采样，在时域就是原序列的以周期N的延拓。
那么这样也就是说上述2中的序列长度L必须小于或等于N，否则就会发生时域混叠，所以说L>=N这就是限制条件，常常我们取L=N，当发生频谱泄露比较严重时我们就可以考虑将L增大，这样就可以减小频谱泄露的的影响。
综上，以上就是MATLAB相关的所有参数了，它们分别就采样频率Fs，原序列长度L，N-DFT变换的N，其主要确定关系总结如下：
Fs>=2fc（fc为信号最高截止频率）
LxTs>=T（T为信号的最小周期，若能取LxTs=T则应尽可能取，可以避免频谱泄露）
N>=L（N常常应为2^m，因为FFT运算就是不断模2进行DFT，所以N为2的次方利于提高速度）
对于其常取值，Fs=1024，N=1024，L=1024，注意满足上述条件就好
说完了这些参数，我们就讲讲MATLAB的fft函数，其用法主要Y=fft（x，N），x为原信号序列，Y为DFT（也就是FFT）变换后的，但是大家会发现其变换后幅度变了而且变了很大，其实就是跟最初的那个式子有关，其频域幅值增大了N倍。
并且发现其横轴也都是整数，所以这时也要对其横轴坐标进行变换，即要乘以相应的频率分辨率Fs/N，所以说上面为什么，常常也取Fs=L，N=L,这样为了频率分辨率为1Hz，对于这些我们需用以下MATLAB语句进行实现
Y=fft(x,N);%N一定到大于信号序列x的长度，不过一般等于，决不能小于
%因为若要小于时域就会发生混叠
Y=abs(Y);
Y=Y./N;
%Y=Y.*2./N;Y(1)=Y(1)./2;若考虑将负频率的幅度折算到正频率时应这样处理
%因为变换后有个N的乘积因子的影响，根据DFT公式可知，故消除其影响
f=(0:N-1)*Fs./N;
%频率正常化，因为变换后横坐标是每个点对应的个数，故应转化成实际的频率
%由于频谱是对称的，且周期的故常常只画一半如下
subplot(2,1,1);
plot(f(1:N/2),Y(1:N./2));
%当然也可以画平常我们见到的有对称的如下
f=f-Fs./2;
subplot(212);
plot(f,fftshift(Y));
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
上述代码也有相关解释，那么我也就对相关几个语句进行介绍解释：
f=(0:N-1)*Fs./N;这是N-DFT变换后的横轴坐标，也就是真实频率值；
Y=Y./N;这是对DFT变换后幅值处理，也就是要除于N才是真实的幅值
%Y=Y.*2./N;Y(1)=Y(1)./2;而这个是鉴于无真实的负频率，其与正频率对称的原理，把负频率去掉，全变为正频率的幅值处理。
下面语句是为了变成我们平常看到有正负频率的图像
f=f-Fs./2;
subplot(212);
plot(f,fftshift(Y));
三、仿真试验
OK接下来就是仿真试验啦。
我们直接考虑x（t）=cos（2π10t）；其周期T=0.1s，fc=10Hz
1、首先考虑Fs=512，L=512，N=512，满足上述三个关系吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=1s>=T（也是10T，故没频率泄露）；N=512>=L=512；那么我们看下仿真结果是否对得到：
可以看到只有一个频率，可以完全表示，故与上述推理一样。代码如下
Fs=512;%采样频率
Ts=1/Fs;%采样周期
N=512;%N—DFT
L=512;%原信号序列长度
t=(0:L-1).*Ts;%时域自变量
x=cos(10*2*pi*t);%原信号
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信号")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft变换
Y=abs(Y)./N;%实际幅值变换
f=(0:N-1)*Fs./N;%实际频率变换
subplot(312);
plot(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT变换幅频响应单边")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
plot(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT变换幅频响应双边")
xlabel("f/Hz")
grid on
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2、那么我们再来考虑Fs=512，L=128，N=128，满足上述三个关系吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=0.15s>=T（不是T的整数倍，故有频率泄露）；N=128>=L=128；那么我们看下仿真结果是否对得到（这次频谱用stem绘制更明显点）：
可以看到出现了些不应该出现的频率，也验证了我们的推论，其代码如下：
Fs=512;%采样频率
Ts=1/Fs;%采样周期
N=128;%N—DFT
L=128;%原信号序列长度
t=(0:L-1).*Ts;%时域自变量
x=cos(10*2*pi*t);%原信号
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信号")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft变换
Y=abs(Y)./N;%实际幅值变换
f=(0:N-1)*Fs./N;%实际频率变换
subplot(312);
stem(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT变换幅频响应单边")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
stem(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT变换幅频响应双边")
xlabel("f/Hz")
grid on
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3、那么我们再来看下增大N点是否可以减小频谱泄露的影响，考虑Fs=512，L=128，N=1024，满足上述三个关系吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=0.15s>=T（不是T的整数倍，故有频率泄露）；N=1024>=L=128；那么我们看下仿真结果是否对得到（这次频谱用stem绘制更明显点）：
很明显可以看到与N=128时，其往所求正确频率处更靠近集中，故增大N可以减小频率响应的影响。代码如下：
Fs=512;%采样频率
Ts=1/Fs;%采样周期
N=1024;%N—DFT
L=128;%原信号序列长度
t=(0:L-1).*Ts;%时域自变量
x=cos(10*2*pi*t);%原信号
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信号")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft变换
Y=abs(Y)./N;%实际幅值变换
f=(0:N-1)*Fs./N;%实际频率变换
subplot(312);
stem(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT变换幅频响应单边")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
stem(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT变换幅频响应双边")
xlabel("f/Hz")
grid on
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
4、最后看下它可不可ifft（）变回去：
这是对于1的ifft只在后面加上下述代码：
figuresubplot(211)plot(t,x)title("原信号")xlabel("t/s")grid onY=fft(x);xx=ifft(Y);subplot(212)plot(t,xx)title("ifft原信号")xlabel("t/s")grid on
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
所以ifft变换时，应把一开始的N因子变回去。
对于非周期信号，其原理差不多，关键是时域能否尽可能取到一个周期等，或者对于无限长的信号，只能采取截取出其中最主要的信息了。
综上，差不多就这样了，可能多少有些问题，欢迎大家指正互相进步。