【计算理论】04 图灵机

图灵机定义

图灵机（Turing machine）与DFA类似，但相比DFA，图灵机具有无限制的存储空间，且读写头可以左右移动、既能读也能写。并且，与DFA不同，当图灵机进入accept或者reject状态时，图灵机会立即停机。

图灵机可以模拟所有实际计算机的所有计算行为，但仍存在不可解的问题。

一台图灵机可以被形式化描述为一个7元组：$\{Q,\Sigma ,\Gamma ,\delta ,q_0,q_{accept},q_{reject}\}$.

• 状态集$Q$
• 字母表$\Sigma$
• 带子$\Gamma$
• 转移函数$\delta$
• 起始状态$q_0$
• 接受状态$q_{accept}$
• 拒绝状态$q_{reject}$

为描述图灵机的状态转移，在此引入格局（configuration）的概念：格局由当前状态$q_i$、当前带子内容和读写头位置组成。设当前带子内容为$uv$，读写头位于$v$的第一个字符处，则该格局可以写为$u{q}_{i}v$。同理，可知下图中图灵机的格局为$1011q_{7}01111$。

在图灵机的计算过程中，如果能够从格局$C_1$合法转移到格局$C_2$，则称$C_1$产生（yield）$C_2$；由于图灵机的读写头可以左右移动，还需要在转移函数中标记移动的方向。

设$a,b,c$为$\Sigma$中的符号，$u,v$为$\Gamma$中的字符串，$q_i,q_j$为状态；若状态转移函数满足$\delta (q_i,b)=(q_j,c,L)$，则记为
$$ua{q}_{i}bv产生u{q}_{j}acv$$

解释一下，图灵机的读写头当前位于$b$，状态转移将$c$写入$b$的位置，并将读写头向左移动到$a$。

同理，若状态转移函数满足$\delta (q_i,b)=(q_j,c,R)$，则记为
$$ua{q}_{i}bv产生uac{q}_{j}v$$

图灵机的读写头位于$b$，状态转移将c写入b的位置，并将读写头向右移动到$v$的第一个字符。

图灵可识别/可判定

称图灵机接受输入$w$，如果存在格局序列$C_1,C_2,\dots ,C_k$使得：

1. $C_1$为起始格局
2. $C_i$可以产生$C_{i+1}$
3. $C_k$为接受格局。

则称图灵机接受$w$，$w$构成的语言集合为可被图灵机识别的语言。

若识别某种语言的图灵机一定停机（不进入循环，只进入$q_{accept}$或$q_{reject}$），则称该语言是可判定的；能够判定某种语言的图灵机称为判定器。

可判定可归约章节的大部分证明都是要求构造判定器，故应当掌握图灵机的常用描述方法。

图灵机描述

由于图灵机的形式化表述非常复杂（需要给出转移矩阵或者绘制状态图），对图灵机的描述通常采用描述性的语言进行表述。

当然，如果考试要求的话，还是得画图或者写转移函数的。

状态图的转移箭头使用形如$0\to x,R$的格式，代表将读写头的字符从0置换到x，并将读写头向右移动。

给出在具体实现中的一些常用技巧：

1. 回到左端的方法：在最左端增加标记符，例如增加空白符$\bigsqcup$。
2. 大多$O(n^2)$的算法，都可以用间隔替换的方法优化到$O(n\log n)$（下文会给例子）。
3. 对需要排查顺序的问题，例如$\{0^n{1}^n\}$，$0$一定是在$1$前面的，描述中应先进行顺序检查。

例1：给出判定语言$A=\{0^n{1}^n|n\ge 0\}$的图灵机描述

解：构造图灵机$M$：
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入字符串w:}\\ 1.从左到右，检查是否有0出现在1的后面;\\ 2.从左向右，扫描整个带子，将一个0置换为x；继续向右移动，选择一个1置换为y；\\ 3.若0没有剩余，1还有剩余；或者1没有剩余，0还有剩余，则拒绝；否则接受。\text{”}\end{array}$$
另一种构造方法为：
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入字符串w:}\\ 1.从左到右，检查是否有0出现在1的后面;\\ 2.从左向右，扫描整个带子，隔一个字符将一个0置换为x；继续向右移动，隔一个字符将一个1置换为y；\\ 3.在每轮扫描结束后，检查0和1的数量的奇偶性，若两者的奇偶性不一致，则拒绝；否则接受。\text{”}\end{array}$$

举个例子来说，对$00001111$，每轮结束后带子为：

00001111
0x0x1y1y
0xxx1yyy
xxxxyyyy

而对$000001111$，则有：

000001111
0x0x01y1y

此时出现01数量不符的情况，拒绝该字符串。

严格证明的话，第二种构造方法实现了折半方法，等价于将01个数转化为二进制表示，并在每轮扫描比较对应的二进制位。

例2：构造判定语言$A=\{0^{2^n}|n\ge 0\}$的图灵机。

解：构造判定该语言的图灵机$M$
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入}w:\\ 1.从左向右，检查w中是否存在0以外的字符；\\ 2.从左向右，间隔一个字符，将0置换为x；\\ 3.每轮置换结束后，检查0的数目，如果为奇数，且不止1个，则拒绝；否则接受。\text{”}\end{array}$$

检查奇数可以通过置换偶数位0的方法，如果本来在偶数位不是0，而是空白符$\bigsqcup$，则说明0的个数是奇数，拒绝。

举例子，$0x0x0x\bigsqcup \bigsqcup \dots$，在扫描第3个0的时候，本应有转移$\delta (q_{奇数0},0)=(q_{偶数0},x,R)$，实际读入的却不是$0$，而是$\bigsqcup$，因此拒绝。

尝试写一下转移矩阵
$$\begin{array}{lccc}状态& 0& x& \bigsqcup \\ q_1& (q_2,x,R)& (q_1,x,R)& (q_3,\bigsqcup ,L)\\ q_2& (q_1,x,R)& (q_2,x,R)& (q_4,\bigsqcup ,L)\\ q_3& (q_3,0,L)& (q_3,x,L)& (q_1,\bigsqcup ,R)\\ q_4& (q_{accept},x,L)& (q_4,x,L)& /\\ q_5& (q_{reject},x,L)& (q_5,x,L)& (q_{accept},\bigsqcup ,L)\end{array}$$

$q_1$用于判断奇数0，当识别到奇数0的时候，进入状态$q_2$，寻找偶数0；

如果状态$q_2$在没有找到偶数0的情况下，就到了最右端的空白符，则说明0的个数为奇数，进入新的状态$q_4$，检查0的个数是否为1个；

$q_3$为回到左端的状态；

若状态$q_4$，向左能够读到0，则进入状态$q_5$，检查是否只存在一个0；

若状态$q_5$，向左再次读到0，说明0的个数不为1，拒绝；否则读到空白符，接受。

在尝试写转移矩阵的时候，可以首先写出起始状态，然后沿着转移路径依次添加新的状态，并补充该状态对应的转移。

例3：构造判定语言$A=\{a^i{b}^j{c}^k|i\times j=k;i,j,k\ge 1\}$的图灵机。

解：构造图灵机$M$：
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入}w:\\ 1.从左向右，检查输入顺序是否符合a,b,c；\\ 2.从左向右，置换一个a为x，并向右找到b的位置，在b与c之间移动，成对置换b和c，直到置换所有的b；如果c被置换完，而b有剩余，则拒绝；\\ 3.若a仍有剩余，恢复所有的b，重复步骤2；若a消尽，c仍有剩余，则拒绝；否则接受。\text{”}\end{array}$$

例4：构造判定语言$A=\{a^n{b}^{n+1}{c}^{n+1}|n\ge 0\}$的图灵机。

大体的实现思路：

1. 检查顺序
2. 首先消一对b, c
3. 成对消除a,b,c

解：构造图灵机$M$:
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入}w:\\ 1.从左向右，检查输入顺序是否满足a,b,c;\\ 2.从左向右，找到b的位置，将一个b置换为y，继续向右，找到一个c的位置，将一个c置换为z；如果没有找到b或者c，则拒绝；\\ 3.从左向右，成对消除a,b,c，如果存在某个字符消尽，仍有字符有剩余的情况，就拒绝，否则接受。\text{”}\end{array}$$

多带图灵机

具有多条带子的图灵机，转移函数允许多个带子同时进行读、写和移动读写头。

易证明：任何多带图灵机，都可被转化为一台单带图灵机（等价性）。

简单来说，只需要将带子依此拼接，并在拼接处填入一个特殊字符标记开始的位置，多带图灵机就可以转化为一台单带图灵机。

确定/非确定

类似非确定状态机和下推自动机，如果图灵机在计算过程中，可以非确定的选择多种可能动作中的一个，就称该图灵机为非确定的。非确定形图灵机的转移函数符合$\delta :Q\times \Gamma \to \mathcal{P}(Q\times \Gamma \times \{L,R\})$。

定理：每个非确定图灵机都等价于某个确定型图灵机。

证明思路：仍采用构造性证明，只要构造出图灵机$D$，可以模拟非确定性图灵机$N$的所有可能分支，如果某个分支到达接受状态，则接受；否则继续模拟。

证明：构造确定性图灵机$D$，$D$包含3条带子，分别为输入带、模拟带和地址带。

• 输入带只包含输入，且不再变化；
• 模拟带对应$N$的某个非确定性计算分支，在$N$的计算树上有特定位置
• 地址带记录$D$在$N$分支上的位置。

给出$D$的描述：
$$\begin{array}{l}D=\text{“对输入}w:\\ 1.将输入读入第1个带子；\\ 2.将第1个带子复制到第2个带子上；\\ 3.用第二个带子模拟N在输入w上非确定计算的某个分支，在N的每步动作之前，查询第3个带子，寻找可行的选择；\\ 如果第3个带子没有对应的节点，则放弃该分支，转入第4步；如果进入拒绝状态，也转入第4步；如果进入接受状态，则接受；\\ 4.在第3个带子上按照字典序选择下一个串，并转到第2步，继续模拟下一个分支。\end{array}$$

计算图灵机

图灵机可以用来描述某种运算，例如
$$\begin{gathered} 输入0^{x}10^y,得到0^{f(x,y)} \\ s.t.f(x,y)=\{\begin{array}{lc}x-y,& x>y\\ 0,& x\le y\end{array} \end{gathered}$$
可构造图灵机：
$$\begin{array}{l}D=\text{“对输入}w:\\ 1.从左向右扫描一次，如果不存在1，或者存在不止一个1，则拒绝;\\ 2.从左向右扫描，将位于1左侧的一个0置换为x，将1右侧的一个0置换为y，重复该步;\\ 3.若1左侧的0有剩余，1右侧的0读尽，则将1右侧剩下的0作为输出返回;否则返回单个0;\text{”}\end{array}$$

其他例题

例1：设计能够判定语言$\{\{0\{1,2{\}}^{\ast }\}\cup \{1\{0,2{\}}^{\ast }\}\cup \{2\{0,1{\}}^{\ast }\}\}$的图灵机

解：构造图灵机，绘制状态图如下：

例2：构造将输入向右移动2格的图灵机

解：

构造图灵机N：
$$\begin{array}{l}N=\text{“对输入}w:\\ 1.从左到右遍历到字符串尾，再向右移动两格，并置这两格为y;\\ 2.左移，将碰到的第一个字符（假设为a）置换为y，然后右移，将最右侧的y置换为a;\\ 3.重复步骤2，直到左移碰到起始标记符\bigsqcup \text{”}\end{array}$$

例3：构造识别语言$\{a^n|n为完全平方数\}$的图灵机

解：

首先考察完全平方数的特点，设有一台多带图灵机，每层读到第$k^2$个a的时候进入下一层，则每层应有的a个数应该为：

1: 1
2: 3
3: 5
4: 7
...

可以观察到，这样排列a的时候，每层都比上一层多2个a。

则可以构造下面的图灵机M
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入}w:\\ 1.检查w是否只包含a,存在其他字符就拒绝;\\ 2.第一条带子读入一个a，若a还有剩余，则进入下一条带子;\\ 3.对上一条带子的每个a，下一条带子对应读入一个a，再多读2个a;\\ 4.若刚好在某条带子正好读完，就接受，否则拒绝。\text{”}\end{array}$$

例4：整数乘法$0^{m}10^n\to 0^{mn}$

解：

构造一台多带图灵机M
$$\begin{array}{l}M=\text{“对输入}w:\\ 1.第一个带子读入w，检查w是否只包含1个1;\\ 2.从左向右，将第一个带子上位于1左侧的1个0置换为x，移动到1的右侧，依此将1右侧的0置换为y，并在第二条带子上录入等量的0;\\ 3.如果第一条带子上，1左侧的0未读尽，则恢复第一条带子1右侧的所有0，重复步骤2，直到所有1左侧的0都读尽；\\ 4.将第二条带子作为输出。\text{”}\end{array}$$

参考

• 《计算理论导引》第二版，机械工业出版社