【数学证明 笔记02】完备性证明方法有哪些？

一、声明

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二、构造完备性证明

原理
构造一个对象（通常是序列、函数、集合等），证明它满足某种性质或条件，从而证明系统的完备性。

示例
命题：在实数范围内存在一个数值 $c$，使得方程 $x^2-2=c$ 有解。
证明：构造法。我们考虑方程 $x^2-2=c$，可以通过观察得知当 $c\ge -2$ 时，该方程有实数解。因此，我们可以选择 $c=0$，此时对应的解为 $x=\pm \sqrt{2}$。因此，实数范围内存在一个数值 $c$，使得方程 $x^2-2=c$ 有解。

三、反证法

原理
假设系统不完备，然后推导出一个矛盾结果，从而证明了系统的完备性。

示例
命题：如果 $x^2$ 是偶数，则 $x$ 也是偶数。
证明：反证法。假设存在一个整数 $x$，使得 $x^2$ 是偶数但 $x$ 不是偶数。这意味着 $x$ 是奇数。根据奇数的性质，$x=2k+1$，其中 $k$ 是整数。那么 $x^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$，由此可得 $x^2$ 也是奇数，这与已知条件矛盾。因此，我们得出结论，如果 $x^2$ 是偶数，则 $x$ 也是偶数。

四、递归论证

原理
对于递归定义的对象或概念，通过递归的性质和定义来证明系统的完备性。

示例
命题：证明斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。
证明：递归论证。首先，斐波那契数列的定义是 $F(1)=F(2)=1$，$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ 对于 $n\ge 3$。我们使用数学归纳法证明：假设 $F(k)$ 和 $F(k+1)$ 互质，那么 $F(k+1)$ 和 $F(k+2)$ 也互质。由于 $\text{gcd}(F(m),F(m+1))=\text{gcd}(F(m),F(m+1)\mathrm{mod}F(m))$，根据辗转相除法可得到 $\text{gcd}(F(m),F(m+1))=\text{gcd}(F(m),F(m+1)-F(m))$，根据斐波那契数列的递归性质，$F(m+1)-F(m)=F(m-1)$。所以 $\text{gcd}(F(m),F(m+1))=\text{gcd}(F(m),F(m-1))$。根据数学归纳法，证明了斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。

五、假设扩展

原理
假设原系统不完备，然后引入新的元素或规则，通过扩展系统来证明其完备性。

示例
命题：证明欧几里得算法的完备性。
证明：假设扩展。欧几里得算法是用于计算两个整数的最大公约数的算法。如果我们扩展这个算法，并确保在算法的每一步都能得到有效的最大公约数，那么我们就可以证明欧几里得算法的完备性。例如，对于给定的两个整数 $a$ 和 $b$，我们可以使用欧几里得算法，通过反复取余数的方式，得到它们的最大公约数。这种假设扩展的方式可以保证算法始终得到正确的结果，从而证明了其完备性。

六、构造模型

原理
构造一个模型来展示系统的完备性，通常在逻辑、集合论、和数学基础理论中使用。

示例
命题：证明欧几里得几何的平行公设。
示例：为了证明欧几里得的平行公设，可以构造一个平行线公设的几何模型。通过在欧几里得平面几何中构建两条被一条直线截断的平行线，然后利用这个模型展示平行线性质。这个模型可以演示平行线之间的角对应相等、同位角相等和内错角相等等性质，从而证明欧几里得的平行公设。这种构造模型的方法常用于几何学和拓扑学中，用以展示特定系统的内在完备性或一致性。