微分方程概述及matlab代码（求解析解）

微分方程概述及matlab代码（求解析解）

【清风数学建模教程笔记】

微分方程概述

当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。

在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式比较容易时，可以用建立微分方程模型的方法来研究该问题。

1. 分类：常微分方程（未知函数是一个一元函数）和偏微分方程（未知函数是一个多元函数）
2. 国赛趋势：越来越重视微分方程、物理领域等
3. 解析解和数值解
   • 解析解(analytical solution)是严格按照公式逻辑推导得到的，具有基本的函数形式。给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题，具有广泛适用性；
   • 数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，在特定的条件下得到的一个近似数值结果，如有限元法，数值逼近法，插值法等等得到的解。别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。
4. 微分方程模型的应用十分广泛：例如人口预测模型、捕食者猎物模型、种群相互竞争\依存模型、传染病模型等

关于传染病模型的学习资源

1. 上海财经大学传染病模型讲解
2. 上海市现代应用数学重点实验室对新冠肺炎的一些研究报告(emo 看不懂)

引例：导弹射击问题

微分方程基本概念

1. 微分方程：含导数或微分的方程称为微分方程，其一般形式为
   $$f(x,y^1,y^2,...,y^n)=0$$

2. 微分方程的阶数：微分方程中所含导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数，例如下式是三阶微分方程。
   y