XTU-OJ 1377-Factorization

题目描述#

根据质因子唯一分解定理可知n=pk11pk22…pkmm，其中pi都是质数。我们定义f(n)=m, 求g(a,b)=∑bi=af(i)。

输入#

第一行是一个整数T(1≤T≤1000)，表示样例的个数。

以后每个样例占一行，为两个整数 a(2≤a≤b≤106)。

输出#

依次每行输出一个样例的结果，为一个整数。

样例输入#

2
2 2
2 10

样例输出#

1
11

解题思路：这题还是质因数分解的题，另外 前缀和 肯定也是跑不了的。

但是这次换个不一样的解法，我们利用 欧拉筛 的筛法性质，来解这道题， 关键代码就17、19两行，如果能理解到，也是说明你对欧筛的理解完全ok了。   

首先知道，欧筛是一个线性筛，所有数只需要遍历一遍，就能判断出它是否为质数，这里，我们还是把质数标记为1（第13行），因为它本身质因数分解就它自己，所以就是 f(n) = 1。

然后17行，令 vis[i*prime[j]] = vis[i]，即 f(i的倍数) = f(i)，因为 i*prime[j] = i * prime[j]，我们默认这个 prime[j] 已经是 数字 i 的质因数，所以定义  f(i*n) = f(i)。

那什么时候执行19行，vis++操作？ 当i % prime[j] != 0 ，即 prime[j] 是一个新的质因数时，vis++, （例如：i = 3 时，vis[3*2] = vis[3] = 1, 如果没有break掉，说明 i 以前没有2这个质因数，而这里 又有 i = 3*2，所以 vis[3*2] 要 ++（加上2这个因数））

以此类推，vis数组最后就 既是 质数的标记数组，又是 前缀和的记录数组 （vis的值，就是 f(i) 的值）

AC代码：

#include 

const int N = 1e6;
int vis[N+2] = {0};
int prime[80000] = {0};
void is_prime()
{
    for (int i = 2; i < N; i ++)                // 欧筛
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[++prime[0]] = i;
            vis[i] = 1;
        }
        for (int j = 1; j <= prime[0] && i <= N/prime[j]; j ++)
        {
            vis[i*prime[j]] = vis[i];
            if (i % prime[j] == 0)        break;
            vis[i*prime[j]] += 1;      // 如果没break掉,说明是prime[j]对i来说是一个新的质因数,同理是 i*prime[j]的新质因数
        }
    }
    for (int i = 2; i <= N; i ++)               // 前缀和
        vis[i] += vis[i-1];
}

int main()
{
    is_prime();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while ( T --)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("%d\n",vis[b]-vis[a-1]);
    }
    return 0;
}