三角函数之积化和差、和差化积及推导过程

积化和差：

① sinα·cosβ = (1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

② cosα·sinβ = (1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

③ cosα·cosβ = (1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

④ sinα·sinβ = -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积：

⑤ sinα+sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

⑥ sinα-sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

⑦ cosα+cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

⑧ cosα-cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差推导：

由和角公式可得：
sin (α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α-β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
上面两式相加得：
sin (α+β) + sin (α-β) = 2 sinα·cosβ
即① sinα·cosβ = (1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

相减得：
sin (α+β) - sin (α-β) = 2 cosα·sinβ
即② cosα·sinβ = (1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

同理，可以推导出③④两式

和差化积推导：

由和角公式可得：

sinα

sinβ

上面两式相加得：
⑤ sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
相减得：
⑥ sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
同理，可以推导出⑦⑧两式

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