P9914 「RiOI-03」匀速相遇

题目描述

平面直角坐标系上有 $n+m$ 个点，其中：

• 有 $n$ 个 $\mathrm{A}$ 类点，它们在初始时依次位于位置 $(1,0),(2,0),(3,0),\dots ,(n,0)$。
• 有 $m$ 个 $\mathrm{B}$ 类点，它们在初始时依次位于位置 $(0,1),(0,2),(0,3),\dots ,(0,m)$。

在某一个时刻，$\mathrm{A},\mathrm{B}$ 类点同时开始运动。具体地：

• 对于第 $i$ 个 $\mathrm{A}$ 类点，其以 $a_i$ 个单位长度每秒的速度向上（即 $y$ 轴正方向）匀速运动。特别地，若 $a_i=0$，则该点始终保持静止。
• 对于第 $i$ 个 $\mathrm{B}$ 类点，其以 $b_i$ 个单位长度每秒的速度向右（即 $x$ 轴正方向）匀速运动。特别地，若 $b_i=0$，则该点始终保持静止。

你能否帮小 T 解决一个简单的问题：求出有多少点对会在某个时刻相遇，即它们在某一刻共点。

分析

对于两个点如果同为 $\mathrm{A}$ 类点，或同为 $\mathrm{B}$ 类点，他们是不会相交的，因为他们的移动方向是不同的，我们假设相交的点编号为 $i,j$，可以发现他们必然在 $(i,j)$ 相交，而如果 $i,j$ 相交，则他们到 $(i,j)$ 的时间相同，所以：

$$\frac{i}{b_i}=\frac{j}{a_i}$$

分子分母交叉相乘得：

$$i\times a_i=j\times b_i$$

所以我们可以用 map 维护每个 $i\times a_i$ 的数量，统计答案时加上 $mp[j\times b_i]$ 的值，注意 $a_i$ 为 $0$ 的情况。

代码

#include 
#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int n, m, a[N], b[N];
unordered_map <int, int> mp;

signed main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		cin >> a[i];
		if(a[i] != 0){
			mp[i * a[i]] ++;
		} 
	}
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i ++){
		cin >> b[i];
		cnt += mp[i * b[i]];
	}
	cout << cnt;
	return 0;
}