c++概率dp——超实用的数据结构

1. 概念引入

在做题目之前，我们需要知道概率是什么。

概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。

在讨论一个事件的概率的时候，我们需要搞清楚概率的讨论范围，比如，掷硬币的概率就不考虑天气等其他因素。
为了简化叙述，我们采用术语：

• 用$P(A)$表示随机事件A发生的概率。
• 样本点：一个不可再细分的随机现象，叫做样本点。
• 样本空间$\Omega$：所有样本点构成的集合。
• 随机事件：样本空间$\Omega$的子集。

我们用掷骰子来举例：
$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)=(-1{)}^0{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)+(-1{)}^1{\sum }_{0<i<j\le n}^{}P(A_i{A}_j)+...+(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2...A_n)$指的是朝上的面为：{$1$}。
样本空间指的是朝上的面为：{$1,2,3,4,5,6$}。
随机事件指的是朝上的面为：{$1,2$}。
这里要注意：一个样本点一定是一个随机事件，但一个随机事件不一定是一个样本点。

其实，概率可以理解为一个集合，它可以满足：
非负性，规范性，可数可加性，以及容斥原理。
容斥原理的公式是：
$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)=(-1{)}^0{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)+(-1{)}^1{\sum }_{0<i<j\le n}^{}P(A_i{A}_j)+...+(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2...A_n)$

我们还要学会计算期望值：
期望值指的的是随机变量的值乘以其概率的总和。

2. 例题精讲

话不多说，我们直接看例题。

2.1 危险迷宫

题目链接

2.1.1 代码

下面附上代码

#include 
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define For(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
typedef pair PII;
const int N = 1e6;
int n, a[N], flag, ans, ans1;
int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}
int ee()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += abs(a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] > 0)
            ans1 += 1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        flag = true, ans = 0, ans1 = 0;
        memset(a, 0, sizeof a);
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> a[i];
            if (a[i] >= 0)
            {
                flag = false;
            }
        }
        if (flag)
        {
            cout << "inf\n";
            continue;
        }
        ee();
        int flag1 = gcd(ans, ans1);
        cout << ans / flag1 << "/" << ans1 / flag1 << endl;
    }
    return 0;
}

2.1.2 AC图片

2.2 收集黄金

题目链接

2.2.1 代码

这道题大家可以自己思考，我也会适当添加注释的。

#include 
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define For(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
typedef pair PII;
const int N = 1e4;
const int P = 1e9 + 7;
int n, a[N], dp[N];
/*
状态设计：dp[i]表示从第 i 位置开始，按照游戏规则，最终可以得到的期望黄金数量
答案： dp[1]
初值：dp[n] = a[n];
转移：dp[i] - (dp[i + 1] + dp[i + 2] + ...... + dp[min(n, 1 + 6)]) / {min(n, j + 6) - j}, j = 1, ......, n - 1
)
*/
int inv(int x) {
	int res = 1;
	int n = P - 2;
	while (n) {
		if (n & 1)
			res = res * x % P;
		x = x * x % P;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
void solve()
{
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    cin >> n;
    For(i, 1, n)
    {
        cin >> a[i];
    }
    dp[n] = a[n];
    for (int i = n - 1; i >= 1;i--){
        For(j, i + 1, min(n, i + 6)){
            dp[i] = (dp[i] + dp[j]) % P;
        }
        dp[i] = dp[i] * inv(min(n, i + 6) - i) % P;
        dp[i] = (dp[i] + a[i]) % P;
        
    }
    cout << dp[1] % P << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}

2.2.2 AC图片

3.结语

今天的文章就到这里啦，三连必回qwq！