c++高斯消元法——简单高效求解线性方程组

1. 概念引入

求解线性方程组在实际问题中具有广泛的应用。它可用于建立物理、工程、经济等领域 的数学模型，并通过求解方程组来得到问题的解答。
高斯消元法是求解线性方程组的重要算法之一，对于复杂的方程组可以通过计算机程序来实现求解。

1.1 线性方程组

我们知道 一元一次方程
$$2x+1=3$$
也学过 二元一次方程组
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}$$
次数为$1$的方程(组)我们把它叫做线性方程组。
那如果做一点点推广，我们得到了$n$元线性方程组：

但它们都可以通过这三种步骤解决：

• 将某个式子乘 $k$ 倍 加到另一个式子上。
• 将某个式子乘非$0$倍数。
• 交换两个式子的位置。

1.2 线性方程组和矩阵

如下是一个线性方程组：

我们可以把它转化为矩阵：

一般一个线性方程组，用矩阵表示，就写成了 AX=b 的
样子。A, X, b 都是矩阵， A 是常数矩阵, b 的常数列向量，
X 是变元列向量。
（列向量就是只有一列的矩阵）

1.3 无穷解、无解的情况

但有的时候，线性方程(组)也会有无穷多组解或是无解，具体是这样的：

1.3.1 一元线性方程

一元一次方程一定有解

• $2x+1=34$ 有唯一解。
• $2x=2x$ 有无穷解，因为任意实数 $x$ 都满足这个式子。
• $0x=1$ 是无解的，但是此时方程已经退化为普通等式，这个等式是错的。

1.3.2 $n$元线性方程组

• $2x+y=3$ 有无穷解，因为任意满足 $k,3-2k$ 形式的 $pair$ 都是解。
• $2x-2y=1$, $2x-2y=0$ 无解，因为不可能存在$(x,y)$ 满足这个方程组。

1.4 高斯消元法

高斯消元法的思想核心基于行初等变换。
矩阵的初等变换分为行初等变换、列初等变换。
行初等变换有三种：

• 将矩阵的某一行的$k$倍加到另一行。
• 将矩阵的某一行乘 $k(k\ne 0)$倍。
• 交换矩阵的某两行。

可以证明，初等行变换不改变线性方程组的解。
初等行变换本质上就就是前面提到的线性方程组的三种基本操作。

高斯消元法的核心步骤是使用行初等变换将矩阵变成行最简矩阵，得到了行最简矩阵，线性方程组的解就很容易获得。

2. 例题精讲

我们来看例题：

2.1 【模板】高斯消元法

题目链接

2.1 题目分析

这道题的步骤是：

• 先将 [A, b] 使用行初等行变换变成行最简形矩阵。
• 判断方程组解的情况：无数解、唯一解、无解。
• 如果唯一解，就输出解，否则输出无数解或无解。

2.2.2 代码

#include 
using namespace std;
using LL = long long;
const double EPS = 1e-6;

bool eq(double a, double b) { // eq 表示 equal to 是 = 的意思
	return fabs(a - b) < EPS;
}

bool gt(double a, double b) { // gt 表示 greater than 是 > 的意思
	return a - b > EPS;
}

void gauss(vector<vector<double>>& a) {
	assert(a.size() != 0);
	int n = a.size(), m = a[0].size();

	int c, r; // 两个指针，分别表示 第 r 行, 第 c 列，表示 正在处理的 。

	for (c = 0, r = 0; c < n; c++) {
		int t = r; // 定义一个 指针，用来 找到 当前列 绝对值 最大的 那个元素 所在的行。
		for (int i = r; i < n; i++)
			if (gt(fabs(a[i][c]), fabs(a[t][c])))
				t = i;
		if (eq(a[t][c], 0)) // 如果 当前列 绝对值 最大的 那个元素 是 0 ，说明 该列元素 全部是 0 .
			continue;
		for (int j = c; j < m; j++) // 把 绝对值 最大的 那个元素 所在的行 交换到 第 r 行。
			swap(a[t][j], a[r][j]);
		for (int j = m - 1; j >= c; j--) // 把 绝对值 最大的 那个元素 所在的行，的行首 变成 1 .（整行除以行首）
			a[r][j] /= a[r][c];
		for (int i = r + 1; i < n; i++) // 用 当前 变出来的 这一列的 1 ，把 该列 其他元素 全部消成 0，
			if (fabs(a[i][c]) > EPS)
				for (int j = m - 1; j >= c; j--)
					a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
		r++;
	}
	/* 至此，矩阵被 消成了 下面的样子
	1,  -2, 1/2, -1/2
	0,  1,   -1 ,  3
	0,  0,   1,    3
	*/
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		for (int k = m - 1; k >= i + 1; k--)
			for (int j = i + 1; j < n; j++)
				a[i][k] -= a[i][j] * a[j][k];
	/* 至此，矩阵被 消成了 下面的样子
	1,  0 ,  0 ,  11
	0,  1,   0 ,  6
	0,  0,   1,    3
	*/

	// 由于 高斯消元法 涉及到 浮点数运算较多，会出现 -0.00000 的情况，要把这种数字 纠正一下。
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < m; j++)
			if (eq(a[i][j], 0))
				a[i][j] = 0;
	// -0.0000 ---> 0
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);

	cout << fixed << setprecision(2); // 输出 保留 两位小数点

	int n;
	cin >> n;

	vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n + 1));

	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j <= n; j++)
			cin >> a[i][j];
	
	gauss(a);

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (eq(a[i][i], 0)) {
			/* 出现了如下情况，是无解的。
			1,  0 ,  0 ,  11
			0,  1,   0 ,  6
			0,  0,   0,    3
			*/
			cout << "No Solution\n";
			return 0;
		}
	}

	// 此处 还需要 考虑 解 不唯一的情况，但本题忽略了，我们只输出 矩阵的 最后一列。
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cout << a[i][n] << "\n";

	return 0;
}

2.2.3 AC图片

3.结语

今天的文章就到这里啦，三连必回qwq！