射影几何学的复兴（五+）

再考虑曲线的另一个一般性质：n次曲线f(x,y)=0的拐点问题。普吕克把普通微积分中对y=f(x)的拐点条件表示成适用于f(x,y)=0的形式，并得到一个3n-4次的方程。原曲线与新曲线必有n(3n-4)个交点，似乎原曲线也该有n(3n-4)个拐点，但这个数太大了，普吕克设想3n-4次方程的曲线与原曲线f=0的n个无穷支中的每一支都有一个切接触，所以公共点中有2n个不是拐点，得到正确拐点数3n(n-2)个。黑塞利用齐次坐标阐明了该事实，他把x换成x1/x3，y换成x2/x3，利用关于齐次函数的欧拉定理，证明了拐点的普吕克方程能写为：其中下标表示偏导数，这个方程是3(n-2)次的，与n次方程f(x1,x2,x3)=0交于3n(n-2)个拐点。因为黑塞引入了这一概念，该行列式称为f的黑塞式。

普吕克等人研究了四次曲线，他首个发现四次曲线有28条二重切线，其中最多8条实的，后来雅可比证明n阶曲线一般有条二重切线。

代数几何也研究了空间图形，之前欧拉和柯西已经引入了空间中直线的表示式，而普吕克引入了一种修改过的形式x=rz+ρ,y=sz+σ其中四个参数r,s,ρ,σ确定了该直线。普吕克说如果把线看作空间的基本元素，空间就是四维的，因为用线组成空间需要四个参数，他放弃了四维点空间的概念，认为太形而上学了，因此产生了维数依赖空间元素的新思想。
空间图形的研究包括三次曲面和四次曲面，直纹曲面是一条直线按某种规律生成的，包括双曲抛物面（马鞍面）、单叶双曲面、螺旋面，如果一个二次曲面包含一条直线，则包含无穷多条直线，且为直纹曲面（锥面、柱面、双曲抛物面或单叶双曲面）。不过对三次曲面不成立。

1849年凯莱发现每个三次曲线上恰有27条直线，不一定全是实的，但对某些曲面全是实的。1871年克莱布什给出一个例子。这些线有特别的性质，如每条与其它十条相交。关于三次曲面上的这些线还有许多研究。

关于四次曲面，值得一提是库默尔的一个成果，他研究表示光线的直线族，在考虑连带的焦曲面时引入了一个四次曲面(且类数是四)，有16个二重点和16个二重平面，是一个二阶光线族的焦曲面，称为库默尔曲面，表示各向异性介质中光线传播的菲涅耳波前是其中特例。

19世纪上半叶射影几何无论是综合法还是代数法都开辟了几何学的一个光辉时期，综合几何学家统治了这个时期，他们力求从每个新成果中发现普遍原理（尽管常常不能从几何上证明，幸好引入了代数法）。这些成果影响了几何学之后的所有工作，甚至从根本上改变了数学的面貌。